Quy tắc nhân là gì? Ứng dụng quy tắc nhân vào các bài toán đếm - Toán 10

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách hoàn thành.

Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:

Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m.n.p cách hoàn thành.

1) Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt.

Giải:

Để tạo một combo, ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.

Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.

Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.

Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.

Vậy có 5.4.3 = 60 cách tạo ra một combo.

2) Có ba thị trấn A, B, C. Có 5 con đường để đi từ A đến B; có 3 con đường để đi từ B đến C.  Có bao nhiêu cách chọn một con đường để đi từ A, qua B rồi đến C?

Giải:

Việc đi từ A, qua B rồi đến C gồm 2 công đoạn:

- Công đoạn thứ nhất: Đi từ A đến B, có 5 cách chọn đường đi.

- Công đoạn thứ hai: Ứng với mỗi cách chọn đường đi từ A đến B, có 3 cách chọn đường đi từ B tới C.

Theo quy tắc nhân, có 5.3 = 15 cách chọn đường để đi từ A, qua B rồi đến C.

3) Các phân tử RNA (acid ribonucleic) là một thành phần của tế bào sinh vật, có chức năng truyền đạt thông tin di truyền và những chức năng quan trọng khác. Mỗi phân tử RNA là một dãy các phân tử nucleotide thuộc một trong bốn loại là A (adenine), C (cytosine), G (guanine) và U (uracil). Hình dưới đây mô phỏng một đoạn phân tử RNA. Số lượng và sự sắp xếp khác nhau của các phân tử nucleotide A, C, G hay U tạo nên các đoạn phân tử RNA khác nhau. Có nhiều nhất bao nhiêu đoạn phân tử RNA khác nhau cùng có 3 phân tử nucleotide?

Giải:

Có thể coi việc tạo nên một đoạn phân tử RNA có 3 phân tử nucleotide là một công việc gồm 3 công đoạn, mỗi công đoạn ứng với việc chọn một trong bốn loại nucleotide A, C, G hoặc U cho mỗi vị trí (thứ nhất, thứ hai, thứ ba) của đoạn. Như vậy, mỗi công đoạn có 4 cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, 3 công đoạn có số cách thực hiện là: $4.4.4=4^{3}$.

Vậy có nhiều nhất $4^{3}$ đoạn phân tử RNA khác nhau cùng có 3 phân tử nucleotide.

4) Từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập được bao nhiêu:

a) Số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau? 

b) Số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau?

Giải:

Kí hiệu số cần lập là $\overline{abc}$, với a, b, c là ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số đã cho. 

a) Có 4 cách lựa chọn chữ số a từ bốn chữ số khác 0 đã cho. 

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 4 cách chọn chữ số b từ bốn chữ số còn lại. 

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số c từ ba chữ số còn lại.

Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, có 4.4.3 = 48 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.

b) Để số $\overline{abc}$ là số chẵn, chữ số c phải là chữ số chẵn. Ta xét hai trường hợp sau đây.

- Trường hợp 1: c = 0. Khi đó, có 4 cách chọn chữ số a từ bốn chữ số còn lại, và ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số b từ ba chữ số còn lại. Do đó, theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.3 = 12 số thoả mãn yêu cầu.

- Trường hợp 2: c = 2 hoặc c = 4. Khi đó, có hai cách chọn chữ số c từ hai chữ số 2 hoặc 4. Ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số a từ ba chữ số khác 0 còn lại, và ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số b từ các chữ số còn lại. Do đó, theo quy tắc nhân, trường hợp này có 2.3.3 = 18 số thoả mãn yêu cầu.

Trong hai trường hợp trên, mỗi số lập được theo trường hợp này đều khác với các số lập được của trường hợp kia. Theo quy tắc cộng, có 12 + 18 = 30 số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.