Cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) và điểm A.

Để lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\), ta thực hiện:

Bước 1: Chuyển phương trình của \({d_1}\), \({d_2}\) về dạng tham số (mỗi phương trình một tham số khác nhau).

Bước 2: Tìm giao điểm B, C của d với \({d_1}\), \({d_2}\) theo tham số.

Bước 3: Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) theo tham số.

Bước 4: Vì A, B, C cùng thuộc d nên \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \), từ đó giải hệ tìm k và các tham số.

Bước 5: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) (hoặc các vecto khác cùng phương).

Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1;1;0) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - t\\z = 0\end{array} \right.\) và \({d_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 2 + s\end{array} \right.\) (t, s là tham số).

Giải:

Giả sử d cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại B, C.

Khi đó, ta có \(B(1 + t; - t;0)\) và \(C(0;0;2 + s)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = (t; - t - 1;0)\), \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1; - 1;2 + s)\).

Vì A, B, C cùng thuộc d nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương, do đó \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - k\\ - t - 1 =  - k\\0 = k(2 + s)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s =  - 2\\t =  - \frac{1}{2}\\k = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1; - 1;0)\).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1;1;0), nhận \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1; - 1;0)\) làm vecto chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - t'\\y =  - t'\\z = 0\end{array} \right.\) \((t' \in \mathbb{R})\).