1. Phương pháp lập phương trình chính tắc của hypebol
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0. Ta cần tìm a, b để thay vào phương trình trên bằng cách suy ra từ dữ kiện của đề bài:
- Hai tiêu điểm là $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ với $c^2 = a^2 + b^2$.
- Tiêu cự: $2c$.
- Với điểm M nằm trên đường hypebol, ta có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\).
- Độ dài trục thực $2a$, độ dài trục ảo $2b$.
- Tâm sai $e = \frac{c}{a} < 1$.
- Toạ độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $A_1(-a; -b)$, $A_2(a; -b)$, $A_3(a; b)$, $A_4(-a; b)$.
- Elip đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) thì \(\frac{{{x_0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
2. Ví dụ minh hoạ lập phương trình chính tắc của hypebol
1) Hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là?
Giải:
Ta có: $\begin{cases} a = 4 \\ 2c = 10 \\ b^2 = c^2 - a^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 4 \\ c = 5 \\ b = 3 \end{cases}$
Phương trình chính tắc của Hyperbol là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.
2) Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol $H$ mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là $(2; -3)$.
Giải:
Gọi $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Toạ độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $A_1(-a; -b)$, $A_2(a; -b)$, $A_3(a; b)$, $A_4(-a; b)$.
Hình chữ nhật cơ sở của $H$ có một đỉnh là $(2; -3)$, suy ra $\begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}$
Phương trình chính tắc của $H$ là $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$.
3) Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng 12 và độ dài trục thực bằng 10.
Giải:
Ta có: $\begin{cases} 2c = 12 \\ 2a = 10 \\ b^2 = c^2 - a^2 \end{cases}$
$\begin{cases} c = 6 \\ a = 5 \\ b^2 = 11 \end{cases}$
Phương trình chính tắc $(H) : \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{11} = 1$.
4) Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol $(H)$ biết nó đi qua điểm là $(5;4)$ và một đường tiệm cận có phương trình là $x + y = 0$.
Giải:
Ta có: $\begin{cases} a = b \\ \frac{5^2}{a^2} - \frac{4^2}{b^2} = 1 \end{cases} \Rightarrow a = b = \sqrt{9} = 3$.
Phương trình $(H) : \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{9} = 1$ hay $x^2 - y^2 = 9$.
5) Hypebol có hai tiêu điểm là $F_1(-2;0)$ và $F_2(2;0)$ và một đỉnh $A(1,0)$ có phương trình chính tắc là?
Giải:
Ta có: $\begin{cases} c = 2 \\ a = 1 \\ b^2 = c^2 - a^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 = 1 \\ b^2 = 3 \end{cases}$.
Phương trình $(H) : \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$.
