Cách chứng minh chia hết bằng hằng đẳng thức - Toán 8

Sử dụng các hằng đẳng thức để chuyển đổi các biểu thức thành dạng tích của hai thừa số. Nếu một thừa số nào đó chia hết cho một số thì cả biểu thức ban đầu cũng chia hết cho số đó.

- Hiệu hai bình phương

- tổng, hiệu lập phương

Hai hằng đẳng thức Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu thường được sử dụng để biến đổi các biểu thức phức tạp thành biểu thức đơn giản hơn, hoặc để tạo ra các thừa số chung.

- Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.

Ví dụ: Chứng minh rằng (n - 1)(n + 1) chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ.

- Vì n là số nguyên lẻ nên ta có thể viết n = 2k + 1 (k là số nguyên).

Khi đó (n – 1)(n + 1) = (2k + 1 – 1)(2k + 1 + 1) = 2k.(2k + 2) = 4k(k + 1).

- Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên một trong hai số đó chia hết cho 2, do đó k(k + 1) chia hết cho 2.

Mà 4k(k + 1) có thừa số 4 nên 4k(k + 1) chia hết cho 4.2 = 8.

Vậy (n - 1)(n + 1) chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ.

\({A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)\)

Ví dụ: \({101^2} - {99^2} = (101 - 99)(101 + 99) = 2.200 = 400\)

\({x^2} - 9 = {x^2} - {3^2} = (x - 3)(x + 3)\)

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({101^2} = {(100 + 1)^2} = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} = 10201\)

\({x^2} + 4xy + 4{y^2} = {x^2} + 2.x.2y + {(2y)^2} = {(x + 2y)^2}\)

\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({99^2} = {(100 - 1)^2} = {100^2} - 2.100.1 + {1^2} = 9801\)

\({(3x - 2y)^2} = {(3x)^2} - 2.3x.2y + {(2y)^2} = 9{x^2} - 12xy + 4{y^2}\)

\({A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

Ví dụ: \({x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = (x + 2)({x^2} - 2x + 4)\)

\((x + 3)({x^2} - 3x + 9) - {x^3} = {x^3} + {3^3} - {x^3} = ({x^3} - {x^3}) + 27 = 27\)

\({A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

Ví dụ: \({x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)

\((2x - y)(4{x^2} + 2xy + {y^2}) + {y^3} - 7{x^3} = {(2x)^3} - {y^3} + {y^3} - 7{x^3} = (8{x^3} - 7{x^3}) + \left( {{y^3} - {y^3}} \right) = {x^3}\)