Cho hình chữ nhật ABCDABCD, kẻ AH⊥BDAH⊥BD tại HH.
a) Chứng minh ΔADHΔADH đồng dạng với ΔBDAΔBDA.
b) Chứng minh ΔAHDΔAHD đồng dạng với ΔBHAΔBHA và AH2=DH.BHAH2=DH.BH
c) Tính AD,ABAD,AB biết DH=9cm,BH=16cmDH=9cm,BH=16cm.
d) Gọi K,M,NK,M,N lần lượt là trung điểm của AH,BH,CDAH,BH,CD. Chứng minh rằng tứ giác MNDKMNDK là hình bình hành và ^AMN=90oˆAMN=90o.
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
- Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
d) Chứng minh KMKM là đường trung bình của ΔAHBΔAHB
Từ đó suy ra tứ giác KMNDKMND là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Chứng minh KK là trực tâm của tam giác ADMADM suy ra HK⊥AMHK⊥AM.
a) Xét ΔAHDΔAHD và ΔDABΔDAB có:
^AHD=^DAB=90oˆAHD=ˆDAB=90o
^ABDˆABD chung
Suy ra ΔAHDΔAHD ᔕ ΔDABΔDAB (g.g)
b) Ta thấy ^HAD+^HAB=^ABH+^HAB=90oˆHAD+ˆHAB=ˆABH+ˆHAB=90o
Suy ra: ^HAD=^ABHˆHAD=ˆABH
Xét ΔAHDΔAHD và ΔBHAΔBHA có:
^AHD=^BHA=90o^HAD=^ABH
Suy ra ΔAHD ᔕ ΔBHA (g.g)
Suy ra AHBH=HDAH. Suy ra AH2=HB.HD
c) Ta có AH2=HB.HD (cmt)
Thay số, ta được: AH2=9.16=144
Suy ra: AH=√144=12(cm)
Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông AHD và AHB, ta có:
AB2=AH2+HB2=122+162=400
Suy ra AB=√400=20(cm)
AD2=AH2+HD2=122+92=225
Suy ra AD=√225=15(cm)
d) Xét ΔAHB có K,M lần lượt là trung điểm của HA,HB nên KM là đường trung bình của ΔAHB
Suy ra KM∥AB;KM=12AB
Mà AB∥CD;AB=CD;DN=12CD
Nên KM∥DN;KM=DN
Tứ giác KMND là hình bình hành
Ta thấy KM∥CD mà DC⊥AD nên MK⊥AD
Tam giác ADM có MK⊥AD;AH⊥DM nên K là trực tâm của tam giác ADM
Suy ra: HK⊥AM
Lại có MN∥DK nên MN⊥AM hay ^AMN=90o
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC có AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD=5cm. Tính độ dài CD.
Một viên bi lăn theo đoạn đường từ A đến D như hình vẽ (AB⊥BC,BC⊥CD). Hãy tính khoảng cách AD. Biết rằng AB = 10m, BC = 12m, CD = 6m.
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Biết AC=15cm, AH=12cm, BH=9cm. Kết luận nào sau đây là đúng?
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8cm. D là một điểm sao cho BD=16cm, CD=24cm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác ABH vuông tại H có AB=20cm, BH=12cm. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho AC=53AH. Chọn đáp án đúng.