Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh $SA = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$

A.

$R = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{7}$
B.

$R = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}$
C.

$R = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}$
D.

$R = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{7}$

Phương pháp giải

+Xác định trục đường tròn ngoại tiếp của mặt phẳng đáy

+Xác định trục đường tròn ngoại tiếp của một mặt bên (Chọn mặt là tam giác đặc biệt)

+Tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao của hai đường thẳng vừa xác định, từ đó tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Do $D$ đối xứng với $C$ qua $B$ nên có $BC = DC = AC$ suy ra tam giác $ABD$ là tam giác vuông tại $A$.

Kẻ đường thẳng $d$ qua $C$ vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABD$ .

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ , gọi $M$ là trung điểm $AB,H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$

$ \Rightarrow H \in SM;SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}$

$SH = \dfrac{{AB.SA.SB}}{{4.{S_{SAB}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}.a}}{{4.\dfrac{1}{2}.a.AM}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}$

Trong $\left( {SAC} \right)$ dựng$HI \bot SM\left( {I \in d} \right)(1)$.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SM\\AB \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right) \Rightarrow AB \bot HI(2)$

Từ (1), (2) suy ra $HI \bot \left( {SAB} \right)$ , suy ra $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$

Gọi $Q = MS \cap CI$, xét tam giác $SCM$ có

$\dfrac{{SM}}{{QM}} = \dfrac{{MG}}{{MC}} = \dfrac{1}{3}$ $ \Rightarrow QM = 3SM = 3.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2}$

$ \Rightarrow QH = QM - MS + HS$ $ = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2} - \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} + \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{{17a}}{{\sqrt {39} }}$

$QC = \sqrt {Q{M^2} - M{C^2}} = 3a$

Xét: $\Delta QHI \sim \Delta QCM \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CM}} = \dfrac{{HQ}}{{QC}}$ $ \Rightarrow HI = \dfrac{{HQ.CM}}{{QC}} = \dfrac{{17a}}{{6\sqrt {13} }}$

$ \Rightarrow R = SI = \sqrt {H{I^2} + H{S^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{6\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}$

Đáp án : C

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:

A.

đi qua các đỉnh của đa diện
B.

tiếp xúc với các mặt của đa diện
C.

tiếp xúc với các cạnh của đa diện
D.

đi qua trung điểm các cạnh của đa diện

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh \(SA = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$