Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh $a$. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
-
A.
$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}$
-
B.
$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$
-
C.
$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$
-
D.
$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{8}$
- Xác định tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện đều: là giao của đường cao tứ diện và tia phân giác của góc giữa mặt bên và mặt đáy của tứ diện đều.
- Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều.
Gọi $H$ là tâm tam giác đều $BCD,E$ là trung điểm $CD$
Ta có $AH \bot \left( {BCD} \right)$
Gọi $I,r$ là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện $ABCD$ thì $I$ là giao của $AH$ và phân giác góc $AEB$ của $\Delta AEB$. Ta có
$\begin{array}{l}AE = BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};HE = \dfrac{{BE}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\\AH = \sqrt {A{E^2} - H{E^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}$
Áp dụng tính chất đường phân giác:
$\begin{array}{l}\dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{EH}}{{EA}} \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IH + IA}} = \dfrac{{EH}}{{EH + EA}}\\ \Rightarrow r = IH = \dfrac{{EH.AH}}{{EH + EA}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\end{array}$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:
-
A.
đi qua các đỉnh của đa diện
-
B.
tiếp xúc với các mặt của đa diện
-
C.
tiếp xúc với các cạnh của đa diện
-
D.
đi qua trung điểm các cạnh của đa diện
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
-
A.
đỉnh đa giác đáy
-
B.
trực tâm đa giác đáy
-
C.
trọng tâm đa giác đáy
-
D.
tâm đường tròn đáy
Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là:
-
A.
đường trung trực của đoạn thẳng
-
B.
trung điểm của đoạn thẳng
-
C.
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
-
D.
đường tròn đường kính là đoạn thẳng đó
Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?
-
A.
hình hộp chữ nhật
-
B.
hình lập phương
-
C.
hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều
-
D.
hình chóp có đáy là hình thoi
Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(4\)
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
-
A.
hình chóp tam giác
-
B.
hình chóp tứ giác
-
C.
hình chóp ngũ giác
-
D.
hình chóp lục giác
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\). Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?
-
A.
\(SA\)
-
B.
\(SB\)
-
C.
\(SC\)
-
D.
\(AC\)
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?
-
A.
trung điểm đoạn nối đỉnh với tâm đáy
-
B.
tâm đáy
-
C.
điểm nằm trên đoạn nối đỉnh với tâm đáy
-
D.
đỉnh hình chóp
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên \(b\). Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
-
A.
\(\dfrac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} }}\)
-
B.
\(\dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} }}\)
-
C.
\(\dfrac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} }}\)
-
D.
\(\dfrac{{2{b^2}}}{{\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} }}\)
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
-
A.
\(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \)
-
B.
\(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{2}} \)
-
C.
\(R = \sqrt {{r^2} - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \)
-
D.
\(R = {r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}\)
Công thức tính diện tích mặt cầu là:
-
A.
\(S = \pi {R^2}\)
-
B.
\(S = 4\pi {R^2}\)
-
C.
\(S = 2\pi {R^2}\)
-
D.
\(\dfrac{4}{3}\pi {R^2}\)
Khối cầu thể tích \(V\) thì bán kính là:
-
A.
\(R = \dfrac{{3V}}{{4\pi }}\)
-
B.
\(R = \sqrt {\dfrac{{3V}}{{4\pi }}} \)
-
C.
\(R = \dfrac{1}{2}.\sqrt[3]{{\dfrac{{3V}}{\pi }}}\)
-
D.
\(R = \sqrt[3]{{\dfrac{{3V}}{{4\pi }}}}\)
Ba đoạn thẳng $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện $SABC$ với $SA = a,SB = 2a,SC = 3a$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
-
A.
\(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{a\sqrt {14} }}{4}\)
Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và có $SA = a,AB = b,AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A,B,C,S$ có bán kính $r$ bằng :
-
A.
$\dfrac{{2(a + b + c)}}{3}$
-
B.
$2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
-
C.
$\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
-
D.
$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
-
A.
$V = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{18}}$
-
B.
$V = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}$
-
C.
$V = \dfrac{{4\sqrt 3 \pi }}{{27}}$
-
D.
$V = \dfrac{{5\pi }}{3}$
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh \(SA = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$
-
A.
\(R = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{7}\)
-
B.
\(R = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}\)
-
C.
\(R = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}\)
-
D.
\(R = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{7}\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\,AD = 2a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = 2a\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).
-
A.
\(9\pi {a^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{9\pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{9\pi {a^3}}}{8}\)
-
D.
\(36\pi {a^3}\)
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh $A,AB = AC = a,AA' = a\sqrt 2 $. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $CA'B'C'$ là:
-
A.
$\dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}$
-
B.
$4\pi {a^2}$
-
C.
$12\pi {a^2}$
-
D.
$4\sqrt 3 \pi {a^2}$
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
-
A.
\(R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } \)
-
B.
\(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}\)
-
C.
$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
-
D.
$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$
Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là $2;2;1$. Tìm bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên.
-
A.
$R = 3$
-
B.
$R = \dfrac{3}{2}$
-
C.
$\dfrac{9}{2}$
-
D.
$R = 9$
