Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC \Rightarrow MNPQ$ là hình vuông suy ra

$PN = MQ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};NB = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là $R = PB = \sqrt {P{N^2} + N{B^2}}  = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}$

Thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}$