Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .$ Nếu đổi biến số $x = \dfrac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì
-
A.
$I = - \,\int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
-
B.
$I = \int {{{\sin }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
-
C.
$I = \int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
-
D.
$I = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$
- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right) = \dfrac{1}{{\sin t}}\).
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C\)
Đặt $x = \dfrac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\dfrac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t$
Và $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\dfrac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.$
Khi đó $I = \int {{{\sin }^2}t.\cos t.\left( { - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t} = - \,\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = - \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Nếu \(t = u\left( x \right)\) thì:
Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C} $ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
Cho \(f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \). Nếu đặt \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\) thì:
Tính \(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)
Cho \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \) , biết\(F\left( e \right) = 3\) , tìm \(F\left( x \right) = ?\)
Tính \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx} \) với $t = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} $. Tính $I$ theo $t$?
Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } \) với \(t = \sqrt {1 - x} \) , giá trị của $m$ bằng ?
Cho\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) và \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản , $a > 0$. Tổng \(a + b\) bằng ?
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\) với \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) , giá trị $a$ bằng?
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x\cos 2x\).
Nếu có \(x = \cot t\) thì:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\). Khi đó, nếu đặt \(x = \tan t\) thì:
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) thoả mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có nghiệm là
Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,$ nếu đặt $x = 2\sin t - 1,$ với $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ thì $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $ bằng:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,$ Tính giá trị biểu thức $F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).$
Biết \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\). Tìm khẳng định đúng
