Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) thoả mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có nghiệm là
-
A.
\(x = 1 - \sqrt 3 \).
-
B.
\(x = 1\).
-
C.
\(x = - 1\).
-
D.
\(x = 0\).
- Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và thỏa mãn điều kiện bài cho.
- Giải phương trình và kết luận nghiệm.
Đặt \(t = \sqrt {8 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 8 - {x^2} \Rightarrow - tdt = xdx\)
\(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx = - \int {\dfrac{{tdt}}{t} = - t + C = - \sqrt {8 - {x^2}} + C} } \)
Vì \(F\left( 2 \right) = 0\) nên \(C = 2\)
Ta có phương trình $ - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 $
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Nếu \(t = u\left( x \right)\) thì:
-
A.
\(dt = u'\left( x \right)dx\)
-
B.
\(dx = u'\left( t \right)dt\)
-
C.
\(dt = \dfrac{1}{{u\left( x \right)}}dx\)
-
D.
\(dx = \dfrac{1}{{u\left( t \right)}}dt\)
Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C} $ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
-
A.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
-
B.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.} $
-
C.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
-
D.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
-
A.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\)
-
B.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = \dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt\)
-
C.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\)
-
D.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\)
Cho \(f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \). Nếu đặt \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\) thì:
-
A.
\(f\left( x \right)dx = - tdt\)
-
B.
\(f\left( x \right)dx = 2tdt\)
-
C.
\(f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt\)
-
D.
\(f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt\)
Tính \(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)
-
A.
\(I = \dfrac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
B.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
C.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
-
D.
\(I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\)
Cho \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \) , biết\(F\left( e \right) = 3\) , tìm \(F\left( x \right) = ?\)
-
A.
\(F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\)
-
B.
\(F\left( x \right) = - \sqrt {1 - \ln x} + \dfrac{1}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\)
-
C.
\(F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} - \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\)
-
D.
\(F\left( x \right) = 2\sqrt {1 - \ln x} - \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\)
Tính \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx} \) với $t = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} $. Tính $I$ theo $t$?
-
A.
\(I = t - \dfrac{{{t^2}}}{2} + C\)
-
B.
\(I = \dfrac{{{t^2}}}{2} - t + C\)
-
C.
\(I = \dfrac{{{t^2}}}{2} - \dfrac{{{t^2}}}{3} + C\)
-
D.
\(I = - \dfrac{{{t^2}}}{2} + \dfrac{{{t^2}}}{3} + C\)
Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } \) với \(t = \sqrt {1 - x} \) , giá trị của $m$ bằng ?
-
A.
\(m = 2\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = - 1\)
Cho\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) và \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản , $a > 0$. Tổng \(a + b\) bằng ?
-
A.
$6$
-
B.
$4$
-
C.
$8$
-
D.
$5$
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:
-
A.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} \)
-
B.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} \)
-
C.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \)
-
D.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} \)
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\) với \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) , giá trị $a$ bằng?
-
A.
$-2$
-
B.
$2$
-
C.
$-1$
-
D.
$1$
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:
-
A.
\(dx = u'\left( t \right)dt\)
-
B.
\(dt = u'\left( x \right)dx\)
-
C.
\(dx = u\left( t \right)dt\)
-
D.
\(dt = dx\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x\cos 2x\).
-
A.
\(\int {f(x)dx = \dfrac{{ - 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
-
B.
\(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{6}\cos 3x + \dfrac{1}{2}\sin x + C} \).
-
C.
\(\int {f(x)dx = \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
-
D.
\(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{6}\cos 3x - \dfrac{1}{2}\sin x + C} \).
Nếu có \(x = \cot t\) thì:
-
A.
\(dx = \tan tdt\)
-
B.
\(dx = - \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\)
-
C.
\(dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\)
-
D.
\(dx = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dt\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\). Khi đó, nếu đặt \(x = \tan t\) thì:
-
A.
\(f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\)
-
B.
\(f\left( x \right)dx = dt\)
-
C.
\(f\left( x \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dt\)
-
D.
\(f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,$ nếu đặt $x = 2\sin t - 1,$ với $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ thì $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $ bằng:
-
A.
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\int {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} .$
-
B.
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8\int {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} .$
-
C.
$\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + \cos 2t} \right)\,\,{\rm{d}}t} .$
-
D.
$\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 2t - \sin 2t + C.$
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
-
A.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
-
B.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
-
C.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{6}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
-
D.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .$ Nếu đổi biến số $x = \dfrac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì
-
A.
$I = - \,\int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
-
B.
$I = \int {{{\sin }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
-
C.
$I = \int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
-
D.
$I = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,$ Tính giá trị biểu thức $F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).$
-
A.
$\dfrac{{{\pi ^2}}}{2} + \ln \dfrac{\pi }{2} + 1$
-
B.
$\dfrac{{{\pi ^2}}}{4} - \ln \dfrac{\pi }{2} + 1.$
-
C.
$\dfrac{{{\pi ^2}}}{8}.$
-
D.
$\dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \dfrac{\pi }{2} + 1.$
Biết \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\). Tìm khẳng định đúng
-
A.
$\int {f(5x + 2)dx = 5F(x) + 2 + C} $
-
B.
$\int {f(5x + 2)dx = F(5x + 2) + C} $
-
C.
$\int {f(5x + 2)dx = \dfrac{1}{5}F(5x + 2) + C} $
-
D.
$\int {f(5x + 2)dx = 5F(5x + 2) + C} $
