Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với :
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sqrt {2023} \\{u_{n + 1}} = \sqrt {2023 + {u_n}} ,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.\)
-
A.
Dãy số tăng.
-
B.
Dãy số giảm.
-
C.
Dãy số không tăng không giảm.
-
D.
Dãy số vừa tăng vừa giảm.
‒ Sử dụng định nghĩa: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
‒ Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k \ge 1\) (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Ta sẽ chứng minh \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Với \(n = 1\): \({u_1} = \sqrt {2023} ,{u_2} = \sqrt {2023 + \sqrt {2023} } \)
Ta có \(\sqrt {2023} > 0 \Leftrightarrow 2023 + \sqrt {2023} > 2023 \Leftrightarrow \sqrt {2023 + \sqrt {2023} } > \sqrt {2023} \Leftrightarrow {u_2} > {u_1}\)
Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\).
Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là \({u_{k + 1}} > {u_k}\). Ta phải chứng minh \({u_{k + 2}} > {u_{k + 1}}\).
Thật vậy, ta có:
\({u_{k + 1}} > {u_k} \Leftrightarrow 2023 + {u_{k + 1}} > 2023 + {u_k} \Leftrightarrow \sqrt {2023 + {u_{k + 1}}} > \sqrt {2023 + {u_k}} \Leftrightarrow {u_{k + 2}} > {u_{k + 1}}\)
Vậy mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Do đó \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3 - {u_n}\) với \(n \ge 1.\) Số hạng \({u_2}\) bằng
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 10 của dãy số là:
Cho tổng \({S_n} = 1 + 2 + 3 + .......... + n\). Khi đó \({S_{10}}\) là bao nhiêu?
Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Lựa chọn đáp án đúng.
Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?
Trong các dãy số sau đây, với giả thiết \(n \in {\mathbb{N}^*}\):
\({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n};{v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n};{q_n} = \sin n + \cos n\)
Số dãy số bị chặn là:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào bị chặn trên:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\) theo \(n\) của các dãy số sau : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\end{array} \right.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi công thức \({u_n} = 3 - 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\).
Cho tổng \(S\left( n \right) = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Khi đó công thức của \(S\left( n \right)\) là:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Với giá trị nào của \(a\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an - 1}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là dãy số tăng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 2023\sin \frac{{n\pi }}{2} + 2024\cos \frac{{n\pi }}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1\end{array} \right.\left( {n \ge 1} \right)\). Giá trị của \(n\) để \( - {u_n} + 2023n + 2024 = 0\) là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {\frac{{2n\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right)\). Gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số này. Tính giá trị của biểu thức: \(T = {\left( {{S_{2023}}} \right)^2} + 2{S_{2024}} - 3\).
