Trong các dãy số sau đây, với giả thiết \(n \in {\mathbb{N}^*}\):
\({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n};{v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n};{q_n} = \sin n + \cos n\)
Số dãy số bị chặn là:
-
A.
0.
-
B.
1.
-
C.
2.
-
D.
3.
Sử dụng định nghĩa:
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số \(M\) và \(m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Với \({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\frac{2}{3} < 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} < {1^n} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} > 0\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
• Với \({v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({\left( {\frac{4}{3}} \right)^n} > 0\). Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
• Với \({q_n} = \sin n + \cos n\)
\({q_n} = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} \right)\sqrt 2 \left( {\sin n\cos \frac{\pi }{4} + \cos n\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\( - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \). Vậy \(\left( {{q_n}} \right)\) bị chặn.
Vậy có 2 dãy số bị chặn.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3 - {u_n}\) với \(n \ge 1.\) Số hạng \({u_2}\) bằng
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 10 của dãy số là:
Cho tổng \({S_n} = 1 + 2 + 3 + .......... + n\). Khi đó \({S_{10}}\) là bao nhiêu?
Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Lựa chọn đáp án đúng.
Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào bị chặn trên:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\) theo \(n\) của các dãy số sau : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\end{array} \right.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi công thức \({u_n} = 3 - 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\).
Cho tổng \(S\left( n \right) = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Khi đó công thức của \(S\left( n \right)\) là:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với :
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sqrt {2023} \\{u_{n + 1}} = \sqrt {2023 + {u_n}} ,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của \(a\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an - 1}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là dãy số tăng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 2023\sin \frac{{n\pi }}{2} + 2024\cos \frac{{n\pi }}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1\end{array} \right.\left( {n \ge 1} \right)\). Giá trị của \(n\) để \( - {u_n} + 2023n + 2024 = 0\) là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {\frac{{2n\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right)\). Gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số này. Tính giá trị của biểu thức: \(T = {\left( {{S_{2023}}} \right)^2} + 2{S_{2024}} - 3\).
