Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {\frac{{2n\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right)\). Gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số này. Tính giá trị của biểu thức: \(T = {\left( {{S_{2023}}} \right)^2} + 2{S_{2024}} - 3\).
-
A.
\(T = - 2\).
-
B.
\(T = 0\).
-
C.
\(T = - 1\).
-
D.
\(T = - 3\).
Sử dụng công thức lượng giác \(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \) để tính \({u_{3k}},{u_{3k + 1}},{u_{3k + 2}}\) sau đó thay vào để tính tổng.
\(\begin{array}{l}{u_{3k}} = \sin \left( {\frac{{2.3k\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {k2\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\\{u_{3k + 1}} = \sin \left( {\frac{{2.\left( {3k + 1} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {k2\pi + \frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\\{u_{3k + 2}} = \sin \left( {\frac{{2.\left( {3k + 2} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {k2\pi + \frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{{7\pi }}{6} = - \frac{1}{2}\end{array}\)
Do đó tổng của ba số hạng liên tiếp của dãy số bằng 0. Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{2023}} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + ... + \left( {{u_{2020}} + {u_{2021}} + {u_{2022}}} \right) + {u_{2023}} = {u_{2023}} = 1\\{S_{2024}} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + ... + \left( {{u_{2020}} + {u_{2021}} + {u_{2022}}} \right) + {u_{2023}} + {u_{2024}} = {u_{2023}} + {u_{2024}} = 1 + \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \(T = {\left( {{S_{2023}}} \right)^2} + 2{S_{2024}} - 3 = {1^2} + 2.\frac{1}{2} - 3 = - 1\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3 - {u_n}\) với \(n \ge 1.\) Số hạng \({u_2}\) bằng
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 10 của dãy số là:
Cho tổng \({S_n} = 1 + 2 + 3 + .......... + n\). Khi đó \({S_{10}}\) là bao nhiêu?
Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Lựa chọn đáp án đúng.
Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?
Trong các dãy số sau đây, với giả thiết \(n \in {\mathbb{N}^*}\):
\({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n};{v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n};{q_n} = \sin n + \cos n\)
Số dãy số bị chặn là:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào bị chặn trên:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\) theo \(n\) của các dãy số sau : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\end{array} \right.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi công thức \({u_n} = 3 - 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\).
Cho tổng \(S\left( n \right) = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Khi đó công thức của \(S\left( n \right)\) là:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với :
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sqrt {2023} \\{u_{n + 1}} = \sqrt {2023 + {u_n}} ,\forall n \in {N^*}\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của \(a\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an - 1}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là dãy số tăng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 2023\sin \frac{{n\pi }}{2} + 2024\cos \frac{{n\pi }}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1\end{array} \right.\left( {n \ge 1} \right)\). Giá trị của \(n\) để \( - {u_n} + 2023n + 2024 = 0\) là:
