Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sin \left( {\frac{{2n\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right)\). Gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số này. Tính giá trị của biểu thức: \(T = {\left( {{S_{2023}}} \right)^2} + 2{S_{2024}} - 3\).
-
A.
\(T = - 2\).
-
B.
\(T = 0\).
-
C.
\(T = - 1\).
-
D.
\(T = - 3\).
Sử dụng công thức lượng giác \(\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \) để tính \({u_{3k}},{u_{3k + 1}},{u_{3k + 2}}\) sau đó thay vào để tính tổng.
\(\begin{array}{l}{u_{3k}} = \sin \left( {\frac{{2.3k\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {k2\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\\{u_{3k + 1}} = \sin \left( {\frac{{2.\left( {3k + 1} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {k2\pi + \frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\\{u_{3k + 2}} = \sin \left( {\frac{{2.\left( {3k + 2} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {k2\pi + \frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{{7\pi }}{6} = - \frac{1}{2}\end{array}\)
Do đó tổng của ba số hạng liên tiếp của dãy số bằng 0. Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{2023}} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + ... + \left( {{u_{2020}} + {u_{2021}} + {u_{2022}}} \right) + {u_{2023}} = {u_{2023}} = 1\\{S_{2024}} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + ... + \left( {{u_{2020}} + {u_{2021}} + {u_{2022}}} \right) + {u_{2023}} + {u_{2024}} = {u_{2023}} + {u_{2024}} = 1 + \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \(T = {\left( {{S_{2023}}} \right)^2} + 2{S_{2024}} - 3 = {1^2} + 2.\frac{1}{2} - 3 = - 1\)
Đáp án : C
