Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)$ lớn nhất.
-
A.
$m = - 1 + \sqrt 2 $
-
B.
$m = 2$
-
C.
$m = \sqrt 2 $
-
D.
$m = - 1$
- Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\).
- Sử dụng bất đẳng thức \(\left| {ax + by} \right| \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \)
Gọi $A$ và $B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ với trục $Ox,Oy$ .
Khi đó, $A\left( {\dfrac{{m - 1}}{m};\,\,0} \right),\,\,\,\,B\left( {0;\,\, - m + 1} \right)$.
Gọi H là hình chiều của $O$ lên đường thẳng $\left( d \right)$ thì $OH$ chính là khoảng cách từ điểm $O$ tới đường thẳng $\left( d \right)$ .
Xét tam giác vuông $OAB$ có $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow OH = \dfrac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}$.
Suy ra $O{H_{\min }} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}} \right)_{\min }}$.
Ta có $\dfrac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{m - 1}}{m}} \right|\left| { - m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{m - 1}}{m}} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $\dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} \le \dfrac{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} = \sqrt 2 $.
Vậy $O{H_{\min }} = \sqrt 2 $ và đạt được khi $m = - 1$.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm các giá trị của $m$ để hàm số $y = \left( {{m^2} - m} \right)x + 1$ đồng biến trên $R$.
Cho hàm số $y = 2mx - m - 1\,\,\,\left( d \right)$. Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;\,\,2} \right)$.
Cho hai đường thẳng$y = 3x - 2\,\,\left( {{d_1}} \right)$ và $y = 2mx + m - 1\,\,\,\left( {{d_2}} \right)$. Tìm giá trị $m$ để $\left( {{d_1}} \right)$ cắt $\left( {{d_2}} \right)$ tại điểm có hoành độ bằng $2$.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(y = {m^2}x + 2\) cắt đường thẳng \(y = 4x + 3\).
Tìm $m$ để ba đường thẳng $y = 2x - 3\,\,\left( {{d_1}} \right);\,\,\,y = x - 1\,\,\left( {{d_2}} \right);\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + 2\,\,\,\,\left( {{d_3}} \right)$ đồng quy.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\left( { - 1;\, - \,5} \right)$ và tạo với trục $Ox$ một góc bằng ${120^0}$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ {0;\,\,3} \right]$ để hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right)x$ đồng biến trên $R.$
Cho đường thẳng $(d) : y = – 2x + 3.$ Tìm $m$ để đường thẳng $d’ : y=mx + 1$ cắt $d$ tại một điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số $y = 2mx - m + 1\,\,\,\left( d \right)$.
Cho hàm số $y = 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} - 3\,\,\,\left( d \right)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ ${x_0}$ thỏa mãn ${x_0} < 2$.
Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2x + {m^2} - 1$ trên đoạn $\left[ {1;\,\,3} \right]$ bằng $5.$
Cho điểm $A\left( {1;\,\,1} \right)$ và hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,y = x - 1;\,\,\,\left( {{d_2}} \right):\,\,\,y = 4x - 2$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A$ và cắt các đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$ tạo thành một tam giác vuông.
Tìm $m \in Z$ để hai đường thẳng $y = mx + 1\,\,\left( {{d_1}} \right)$và $y = 2x + 3\,\,\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên.
Biết rằng đường thẳng $d:y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {4;\,\, - 3} \right)$ và song song với đường thẳng $y = - \dfrac{2}{3}x + 1$. Tính giá trị biểu thức ${a^2} + {b^3}$.
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Đặt \(S\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và \(P\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right)\).
Xét các mệnh đề:
i) Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn
ii) Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn
iii) Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ
Số mệnh đề đúng là:
Cho hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,y = - 3x + m + 2;\,\,\,\left( {{d_2}} \right):\,\,\,y = 4x - 2m - 5.$ Gọi $A\left( {1;\,{y_A}} \right)$ thuộc $\left( {{d_1}} \right)$, $B\left( {2;\,\,{y_B}} \right)$ thuộc $\left( {{d_2}} \right).$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A$ và $B$ nằm về hai phía của trục hoành.
Cho đường thẳng $y = 1 + 3x\,\,\,\left( d \right)$. Tìm tất cả các điểm $A\left( {x;\,\,y} \right)$ thuộc (d) có tọa độ thỏa mãn phương trình $6x + {y^2} = 5y$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = \left( {3m + 2} \right)x - 7m - 1\) vuông góc với đường \(\Delta :y = 2x - 1.\)
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| = {m^2} - 2$ có hai nghiệm phân biệt.
Hàm số \(y = \left| {2x + 10} \right|\) là hàm số nào sau đây:
