Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2x + {m^2} - 1$ trên đoạn $\left[ {1;\,\,3} \right]$ bằng $5.$

Trước hết nhận xét rằng: $2 > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1;\,\,3} \right]$.

Với $1 \le {x_1} < {x_2} \le 3 $ $\Rightarrow y\left( 1 \right) \le y\left( {{x_1}} \right) < y\left( {{x_2}} \right) \le y\left( 3 \right)$ nên giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt được tại $x = 3.$

Khi đó ${y_{max}} = y\left( 3 \right) = 2.3 + {m^2} - 1 = 5 + {m^2}$

Để ${y_{max}} = 5$ thì $5 + {m^2} = 5 \Leftrightarrow m = 0$