Trắc nghiệm Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác Toán 8 Chân trời sáng tạo

Ta có $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3},\frac{{AC}}{{CD}} = \frac{9}{{13,5}} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{2}{3}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CAD$ có: $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{CD}}(cmt),\widehat {BAC} = \widehat {ACD}$ (so le trong, AB//CD )

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta CAD(c - g - c)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{10}}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{{10.3}}{2} = 15\end{array}$

$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có: $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (so le trong, AB//CD)

$\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DC}}$ (Vì $\frac{{16}}{{20}} = \frac{{20}}{{25}})$

Do đó $\Delta ABD \backsim \Delta BDC(c - g - c)$

Ta có ${\rm{\hat A = 90}}{}^0$ nên $\widehat {DBC} = {90^0}$ . Theo định lí Pytago, ta có:

$B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {25^2} - {20^2} = {15^2}$ .Vậy BC= 15 (cm)

Ta có tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng $\frac{{M{M'}}}{{E{E '}}} = k$

Tỉ số đồng dạng bằng với tỉ số đường trung tuyến tương ứng.

Vì $AD.AH = AB.AK( = {S_{ABCD}})$ nên $\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{BC}}$

Ta lại có AB//CD (vì ABCD là hình bình hành) mà $AK \bot DC \Leftrightarrow AK \bot AB \Rightarrow \widehat {BAK} = {90^0}$

Từ đó $\widehat {HAK} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat {BAH}$ )

Nên $\Delta AKH \backsim \Delta BCA(c - g - c) \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = {60^0}$

Kẻ đường phân giác AE của $\Delta ABC$ . Theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{16}}$ hay $\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}$ 

Nên $\frac{{BE + EC}}{{AB+AC}} = \frac{{20}}{{9+16}}=\frac{4}{5}$

Hay $\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{{CE}}{{16}} =\frac{4}{5} \Rightarrow EC = 12,8(cm)$

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta ECA$ có: $\hat C$ là góc chung

$\frac{{AC}}{{EC}} = \frac{{CB}}{{CA}}$ (vì $\frac{{16}}{{12,8}} = \frac{{20}}{{16}})$

Do đó $\Delta ACB \backsim \Delta ECA$ (c-g-c) suy ra $\hat B = \widehat {CAE}$ tức là $\hat B = \frac{{\hat A}}{2}$

Kẻ $BK \bot CD(K \in CD)$ thì tứ giác ABKD là hình có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Do đó: $DK = AB = 4(cm) \Rightarrow KC = DC - DK = 9 - 4 = 5(cm)$

Tam giác KBC vuông tại K, theo định lý Pytago ta có:

$B{C^2} = C{K^2} + K{B^2}$ hay ${13^2} = {5^2} + K{B^2} \Rightarrow KB = 12(cm)$ nên $\Rightarrow AD = KB = 12(cm)$

M là trung điểm của AD nên $AM = MD = \frac{1}{2}AD = 6(cm)$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta DCM$ có: $\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{{AM}}{{DC}},\widehat {MAB} = \widehat {MDC} = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta AMB \backsim \Delta DCM(c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {DCM}$ mà $\widehat {DMC} + \widehat {DCM} = {90^0}$

$\Rightarrow \widehat {AMB} + \widehat {DCM} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}$