Quy tắc tổng, hiệu, tích của một số với một vecto trong không gian - Toán 12

Trong không gian, cho hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Khi đó, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \).

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vecto được gọi là phép cộng vecto.

Tính chất:

- Giao hoán: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \).

- Kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\).

- Cộng với vecto-không: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a \).

* Quy tắc ba điểm:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (với ba điểm A, B, C bất kì).

* Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD. Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

* Quy tắc hình hộp:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \).

Vecto \(\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right)\) được gọi là hiệu của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \).

Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

* Quy tắc ba điểm:

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (với ba điểm A, B, C bất kì).

Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau:

- Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k < 0.

- Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

* Quy tắc trung điểm:

Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M bất kì, ta có:

+ \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

+ \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

* Quy tắc trọng tâm:

Với G là trọng tâm tam giác ABC và điểm M bất kì, ta có:

+ \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

+ \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \).