Phương trình logarit là gì? Cách giải phương trình logarit theo dạng - Toán 11

Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu logarit.

Phương trình logarit cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Ví dụ: \({\log _7}(x + 1) = 2\), \({\log _2}({x^2} + x + 1) = 3\) là các phương trình logarit.

Phương trình logarit cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Nhận xét: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì:

+ \({\log _a}f(x) = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = {a^b}\end{array} \right.\).

+ \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\).

Dạng 1: Phương trình mũ cơ bản

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình logarit cơ bản.

Phương trình logarit cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Lưu ý: Phương trình vô nghiệm khi b < 0.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \({\log _2}x = 5\);

b) \({\log _4}(x - 2) = 2\);

c) \({\log _2}(1 - x) = 2\);

d) \({\log _2}\left| {x - 1} \right| = 3\);

e) \({\log _{\sqrt[4]{2}}}{({x^2} - 2)^2} = 8\);

f) \({\log _2}\sqrt {{x^2} + 5}  = 3\).

Giải:

a) \({\log _2}x = 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x = {2^5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 32\).

b) \({\log _4}(x - 2) = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 2}\\{x - 2 = {4^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 2}\\{x = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 18\).

c) \({\log _2}(1 - x) = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - x > 0}\\{1 - x = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\)

d) \({\log _2}\left| {x - 1} \right| = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 \ne 0}\\{\left| {x - 1} \right| = {2^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 8\\x - 1 =  - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 9\\x =  - 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 9\).

e) \({\log _{\sqrt[4]{2}}}{({x^2} - 2)^2} = 8 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2 \ne 0}\\{{{({x^2} - 2)}^2} = {{(\sqrt[4]{2})}^8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  \pm \sqrt 2 }\\{{{({x^2} - 2)}^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \vee x = 2\\{x^2} = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2 \vee x = 2\end{array} \right.\).

f) Điều kiện: \({x^2} + 5 > 0\) \(\forall x\).

\({\log _2}\sqrt {{x^2} + 5}  = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 5}  = 8 \Leftrightarrow {x^2} + 5 = 64 \Leftrightarrow {x^2} = 59 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {59} \) (TM).

Dạng 2: Phương trình logarit đưa về cùng cơ số

Cho \(1 \ne a > 0\). Với các biểu thức f(x) và g(x) xác định, ta thường đưa các phương trình logarit về các dạng cơ bản sau:

Loại 1: \({\log _a}f(x) = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = {a^b}\end{array} \right.\).

Loại 2: \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (x + 7)\);

b) \(2{\log _2}({x^2} - x - 1) = {\log _{\sqrt 2 }}(x - 1)\);

c) \({\log _4}(x + 12).{\log _x}2 = 1\);

d) \({\log _3}(x + 4) + 2{\log _9}(14 - x) = 4\).

Giải:

a) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 > 0}\\{x + 3 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1}\\{x + 7 > 0}\end{array}} \right.\).

\(\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (x + 7)\)

\( \Leftrightarrow \ln \left[ {(x + 1)(x + 3)} \right] = \ln (x + 7) \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = x + 7 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 1\).

b) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x - 1 > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

\(2{\log _2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}(x - 1)\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 2{\log _2}(x - 1)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) = {\log _2}(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = x - 1 \Leftrightarrow x = 2\).

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 2\).

c) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 12 > 0}\\{x > 0}\\{x \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 12}\\{x > 0}\\{x \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x \ne 1}\end{array}} \right.\).

\({\log _4}(x + 12).{\log _x}2 = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}(x + 12).\frac{1}{{{{\log }_2}x}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}(x + 12) = 2{\log _2}x\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}(x + 12) = {\log _2}{x^2} \Leftrightarrow  - {x^2} + x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3{\mkern 1mu} (L)}\\{x = 4{\mkern 1mu} (N)}\end{array}} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 4\).

d) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 4 > 0}\\{14 - x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 4}\\{x < 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - 4 < x < 14\).

\({\log _3}(x + 4) + 2{\log _9}(14 - x) = 4\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 4) + 2{\log _3}(14 - x) = 4\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 4) + {\log _3}(14 - x) = 4\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}[(x + 4).(14 - x)] = 4\)

\( \Leftrightarrow (x + 4)(14 - x) = {3^4} \Leftrightarrow  - {x^2} + 10x + 56 = {3^4} \Leftrightarrow x = 5\).

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 5\).

Dạng 3: Phương trình logarit dùng mũ hoá

Cho \(1 \ne a > 0\). Với các biểu thức f(x) và g(x) xác định, ta thường đưa các phương trình logarit về dạng: \({\log _a}f(x) = g(x)\) \((0 < a \ne 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = {a^{g(x)}}\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

a) \({\log _{{x^2}}}(3 - 2x) = 1\);

b) \({\log _{5 - x}}({x^2} - 2x + 64) = 2\);

c) \({\log _2}({5^{x + 1}} - {25^x}) = 2\);

d) \(\log ({25^x} - {2^{2x + 1}}) = x\);

e) \({\log _2}(9 - {2^x}) = 3 - x\);

f) \({\log _2}({4^x} + 4) = x - {\log _{0.5}}({2^{x + 1}} - 3)\).

Giải:

a) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} > 0}\\{{x^2} \ne 1}\\{3 - 2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x \ne  \pm 1}\\{x < \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

\({\log _{{x^2}}}(3 - 2x) = 1 \Leftrightarrow 3 - 2x = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{  - 3\} \).

b) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 - x > 0}\\{5 - x \ne 1}\\{{x^2} - 2x + 64 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 5}\\{x \ne 4}\end{array}} \right.\).

\({\log _{5 - x}}({x^2} - 2x + 64) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 64 = {(5 - x)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 64 = 25 - 10x + {x^2} \Leftrightarrow 8x =  - 39 \Leftrightarrow x =  - \frac{{39}}{8}\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - \frac{{39}}{8}} \right\}\).

c) Điều kiện: \({5^{x + 1}} - {25^x} > 0\).

\({\log _2}\left( {{5^{x + 1}} - {{25}^x}} \right) = 2 \Leftrightarrow {5^{x + 1}} - {25^x} = 4 \Leftrightarrow {5^{2x}} - {5.5^x} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^x} = 1}\\{{5^x} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = {{\log }_5}4}\end{array}} \right.\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{ 0;{\log _5}4\} \).

d) Điều kiện \({25^x} - {2^{2x + 1}} > 0\).

\({\log _2}\left( {{{25}^x} - {2^{2x + 1}}} \right) = x \Leftrightarrow {25^x} - {2.4^x} = {2^x}\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2{\left( {\frac{4}{{25}}} \right)^x} - {\left( {\frac{2}{{25}}} \right)^x} = 0 \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{2x}} + {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - 1 = 0\) (*)

Đặt \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} = t\) \((t > 0)\). Khi đó (*) trở thành:

\(2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 1{\mkern 1mu} ({\rm{L}})}\\{t = \frac{1}{2} \Rightarrow {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {{\log }_{\frac{5}{2}}}2}\end{array}} \right.\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {{{\log }_{\frac{5}{2}}}2} \right\}\).

e) Điều kiện \(9 - {2^x} > 0 \Leftrightarrow {2^x} < 9 \Leftrightarrow x < {\log _2}9\).

\({\log _2}(9 - {2^x}) = 3 - x \Leftrightarrow 9 - {2^x} = {2^{3 - x}} \Leftrightarrow 9 - {2^x} = {2^3} \cdot \frac{1}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {9.2^x} - {({2^x})^2} - 8 = 0\;(*)\)

Đặt \({2^x} = t\) \((t > 0)\). Khi đó (*) trở thành \( - {t^2} + 9t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8({\rm{N}})\\t = 1({\rm{N}})\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\\{2^x} = 8 \Leftrightarrow x = 3\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{ 0;3\} \).

f) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{4^x} + 4 > 0\;\forall x}\\{{2^{x + 1}} - 3 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {2^{x + 1}} - 3 > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}3 - 1\).

\({\log _2}({4^x} + 4) = x - {\log _{0.5}}({2^{x + 1}} - 3)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}({4^x} + 4) = x + {\log _2}({2^{x + 1}} - 3)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {\frac{{{2^x}}}{{{{2.2}^x}}}} \right)^2} + 4 = x \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{2^x}}}{{{{2.2}^x}}}} \right)^2} + 4 = {2^x} \Rightarrow  - {\left( {{2^x}} \right)^2} + {3.2^x} + 4 = 0\) (*)

Đặt \({2^x} = t\;(t > 0)\). Khi đó (*) trở thành \( - {t^2} + 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1(n)\\t = 4(N)\end{array} \right. \Leftrightarrow {2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \{ 2\} \).

Dạng 4: Phương trình logarit đặt ẩn phụ

Biến đổi quy về dạng: \(f\left( {{{\log }_a}g(x)} \right) = 0\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {\log _a}g(x)\\f(t) = 0\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + 3 = 0\).

b) \(\log _{0,5}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\)

c) \(\sqrt[3]{{{{\log }_3}x}} - {\log _3}3x - 1 = 0\)

d) \(\log ({25^x} - {2^{2x + 1}}) = x\)

e) \(\log _{\sqrt 2 }^2x + {\log _2}\left( {x\sqrt 8 } \right) - 3 = 0\)

f) \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1}  - 5 = 0\)

Giải:

a) Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _3^2x - 4{\log _3}x + 3 = 0\). Đặt \(t = {\log _3}x\), ta được:

\({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1 \Rightarrow {{\log }_3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3}\\{t = 3 \Rightarrow {{\log }_3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \{ 3;27\} \).

b) Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow \log _2^2x + 4{\log _2}x - 5 = 0\). Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được:

\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 5 \Leftrightarrow {{\log }_2}x =  - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{32}}}\\{t = 1 \Leftrightarrow {{\log }_2}x = 2 \Leftrightarrow x = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \left\{ {\frac{1}{{32}};4} \right\}\).

c) Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_3}x \ge 0}\\{x > 0}\\{3x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).

\(3\sqrt {{{\log }_3}x - } {\log _3}3x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x - 3\sqrt {{{\log }_3}x}  + 2 = 0\). Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_3}x} \) \(\left( {t \ge 0} \right)\), ta được:

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2 \Leftrightarrow {{\log }_3}x = 2 \Leftrightarrow x = {3^2} = 9}\\{t = 1 \Leftrightarrow {{\log }_3}x = 1 \Leftrightarrow x = {3^1} = 3}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow S = \{ 3;9\} \).

d) Điều kiện: \(0 < x \ne 1\).

\({\log _2}x - {\log _x}64 = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x - 6{\log _x}2 = 1\). Đặt \(t = {\log _2}x\) \(\left( {t \ne 0} \right)\), ta được:

\(t - \frac{6}{t} = 1 \Leftrightarrow {t^2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3 \Leftrightarrow {{\log }_2}x = 3 \Leftrightarrow x = 8}\\{t =  - 2 \Leftrightarrow {{\log }_2}x =  - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \left\{ {8;\frac{1}{4}} \right\}\).

e) Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _{\sqrt 2 }^2x + {\log _2}(x\sqrt 8 ) - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(2{\log _2}x)^2} + {\log _2}x + {\log _2}\sqrt 8  - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{({\log _2}x)^2} + {\log _2}x - \frac{3}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 8{({\log _2}x)^2} + 2{\log _2}x - 3 = 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được:

\(8{t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {{\log }_2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {2^{\frac{1}{2}}}}\\{t =  - \frac{3}{4} \Leftrightarrow {{\log }_2}x =  - \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = {2^{ - \frac{3}{4}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \left\{ {{2^{\frac{1}{2}}};{2^{ - \frac{3}{4}}}} \right\}\).

f) Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1}  - 5 = 0\). Đặt \(\sqrt {\log _3^2x + 1}  = t\) \(\left( {t \ge 1} \right) \Rightarrow \log _3^2x = t - 1\), ta được:

\({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2(N)\\t =  - 3(L)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt {\log _3^2x + 1}  = 2 \Leftrightarrow \log _3^2x + 1 = 4\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_3}x = \sqrt 3 }\\{{{\log }_3}x =  - \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {3^{\sqrt 3 }}}\\{x = {3^{ - \sqrt 3 }}}\end{array}} \right. \Rightarrow S = \left\{ {{3^{\sqrt 3 }};{3^{ - \sqrt 3 }}} \right\}\).