Bất phương trình mũ là gì? Cách giải bất phương trình mũ theo dạng - Toán 11

Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

Phương trình mũ cơ bản có một trong những dạng sau:

\({a^x} > b\); \({a^x} < b\); \({a^x} \ge b\); \({a^x} \le b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Ví dụ: \({3^x} > 27\), \({7^x} \le 12\) là các bất phương trình mũ cơ bản.

Xét bất phương trình mũ \({a^x} > b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

- Nếu \(b \le 0\), tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

- Nếu b > 0, bất phương trình tương đương với \({a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}\).

+ Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\) (giữ nguyên chiều của bất phương trình).

+ Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b\) (đổi chiều của bất phương trình).

Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

Dạng 1: Bất phương trình mũ cơ bản

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) \({3^x} \ge 9\).

Ta có \({3^x} \ge 9 \Leftrightarrow x \ge {\log _3}9 \Leftrightarrow x \ge 2\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \le 4\).

Ta có: \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \le 4 \Leftrightarrow x \le {\log _{\frac{1}{2}}}4\).

c) \({2^{x + 2}} < \sqrt {{2^3}} \).

Ta có: \({2^{x + 2}} < \sqrt {{2^3}}  \Leftrightarrow {2^{x + 2}} < {2^{\frac{3}{2}}} \Leftrightarrow x + 2 < \frac{3}{2} \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{2}\).

d) \({2^x} > {3^{x + 1}}\).

Ta có: \({2^x} > {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^x} > {3.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{2}{3}}}3\).

e) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32\).

Ta có \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 5}} \Leftrightarrow x <  - 5\)

f) \({3^{{x^2} - 2x}} < 27\).

Ta có \({3^{{x^2} - 2x}} < 27 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x}} < {3^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x < 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 3\).

Dạng 2: Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Với a > 1: \({a^{f(x)}} < {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) < g(x)\).

Với 0 < a < 1: \({a^{f(x)}} < {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\).

Ví dụ minh hoạ:

a) \({2^{2x - 1}} - {2^{ - 2}} > 0\).

Ta có \({2^{2x - 1}} - {2^{ - 2}} > 0 \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} > {2^{ - 2}} \Leftrightarrow 2x - 1 >  - 2 \Leftrightarrow x >  - \frac{1}{2}\).

b) \({2^{2{{(x + 5)}^2}}} \ge {4^{1 - 2x}}\).

Ta có \({2^{2{{(x + 5)}^2}}} \ge {4^{1 - 2x}} \Leftrightarrow {4^{{{(x + 5)}^2}}} \ge {4^{1 - 2x}} \Leftrightarrow {(x + 5)^2} \ge 1 - 2x \Leftrightarrow {x^2} + 12x + 24 \ge 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Dạng 3: Bất phương trình mũ dùng logarit hoá

\({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f(x)}} > {\log _a}{b^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x).{\log _a}b\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) \({2^{x + 1}} > {8^{x - 1}}\).

Ta có \({2^{x + 1}} > {8^{x - 1}} \Leftrightarrow x + 1 > (x - 1){\log _2}8 \Leftrightarrow x + 1 > 3(x - 1) \Leftrightarrow  - 2x >  - 4 \Leftrightarrow x < 2\).

b) \({3^{{4^x}}} \le {4^{{3^x}}}\).

Ta có \({3^{{4^x}}} \le {4^{{3^x}}} \Leftrightarrow {4^x}{\log _3}3 \le {3^x}{\log _3}4 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} \le {\log _3}4 \Leftrightarrow x \le {\log _{\frac{4}{3}}}\left( {{{\log }_3}4} \right)\).

Dạng 3: Bất phương trình đặt ẩn phụ cơ bản

Biến đổi quy về dạng \(f\left[ {{a^{g(x)}}} \right] < b\) \(\left( {a > 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {a^{g(x)}} > 0\\f(t) < b\end{array} \right.\).

Các cơ số thường gặp:

+ \({4^x}\) ta đặt \(t = {2^x}\);

+ \({9^x}\) ta đặt \(t = {3^x}\);

+ \({25^x}\) ta đặt \(t = {5^x}\).

Ví dụ minh hoạ:

a) \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 > 0 \Leftrightarrow {3.3^{2x}} - {4.3^x} + 1 > 0\).

Ta có \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 > 0 \Leftrightarrow {3.3^{2x}} - {4.3^x} + 1 > 0\). Đặt \(t = {3^x}\) \(\left( {t > 0} \right)\), ta được:

\(3{t^2} - 4t + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 1\\t < \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} > 1\\{3^x} < \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\).

b) \({9^x} - {5.3^x} + 6 < 0\).

Ta có \({9^x} - {5.3^x} + 6 < 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^2}} \right)^x} - {5.3^x} + 6 < 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {5.3^x} + 6 < 0\) (*)

Đặt \(t = {3^x}\) \(\left( {t > 0} \right)\), ta được:

\({t^2} - 5t + 6 < 0 \Leftrightarrow 2 < t < 3 \Leftrightarrow {\log _3}2 < x < 1\).