Bất phương trình logarit là gì? Cách giải bất phương trình logarit theo dạng - Toán 11

Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu logarit.

Phương trình logarit cơ bản có một trong những dạng sau:

\({\log _a}x > b\); \({\log _a}x < b\); \({\log _a}x \ge b\); \({\log _a}x \le b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Ví dụ: \({\log _2}x > 3\), \({\log _8}x \le 2\) là các bất phương trình logarit cơ bản.

Xét bất phương trình logarit \({\log _a}x > b\) \(\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\).

Bất phương trình tương đương với \({\log _a}x > {\log _a}{a^b}\).

+ Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là \(x > {a^b}\) (giữ nguyên chiều của bất phương trình).

+ Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là \(0 < x < {a^b}\) (đổi chiều của bất phương trình).

Các bất phương trình logarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bản

Giải bất phương trình logarit cơ bản: \({\log _a}x > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > {a^b}\\x < {a^b}\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{a > 1}\\{0 < a < 1}\end{array}\).

Lưu ý:

- Xác định điều kiện trước khi giải bất phương trình.

- Khi lấy cơ số cần quan tâm cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1 để xác định dấu của bất phương trình.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\log _{{e^2}}}x > 5\).

Ta có: \({\log _{{e^2}}}x > 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x > {{\left( {{e^2}} \right)}^5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x > {e^{10}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > {e^{10}}\).

b) \({\log _4}(x - 20) < 2\).

Ta có \({\log _4}(x - 20) < 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 20}\\{x - 20 < {4^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 20}\\{x < 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 20 < x < 36\).

c) \({\log _2}\left| {x - 1} \right| > 2\).

Ta có \({\log _2}\left| {x - 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 \ne 0}\\{\left| {x - 1} \right| > {2^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{{{(x - 1)}^2} > 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{{x^2} - 2x - 2 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 1 + \sqrt 3 \\x < 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1 + \sqrt 3 \\x < 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\).

d) \({\log _3}{({x^2} - 1)^2} > 2\).

Ta có \({\log _3}{({x^2} - 1)^2} > 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \ne 0}\\{{{({x^2} - 1)}^2} > {3^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  \pm 1}\\{{x^4} - 2{x^2} - 8 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} > 4\\{x^2} <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\{x^2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\).

Dạng 2: Bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình có dạng: \({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)\).

- Với a > 1: BPT tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.\).

- Với 0 < a < 1: BPT tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\log _9}(x + 7) > {\log _3}(x + 1)\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 7 > 0}\\{x + 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 7}\\{x >  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x >  - 1.\)

Ta có \({\log _9}(x + 7) > {\log _3}(x + 1) \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}(x + 7) > {\log _3}(x + 1)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 7) > {\log _3}{(x + 1)^2} \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < x < 2\).

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: \( - 1 < x < 2\).

b) \(2{\log _2}({x^2} - x - 1) < {\log _{\sqrt 2 }}(x - 1)\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - x - 1 > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

\(2{\log _2}({x^2} - x - 1) < {\log _{\sqrt 2 }}(x - 1) \Leftrightarrow 2{\log _2}({x^2} - x - 1) < 2{\log _2}(x - 1)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) < {\log _2}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 < x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};2} \right)\).

Dạng 3: Bất phương trình logarit dùng mũ hoá

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}f(x) > g(x)\\a > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) > {a^{g(x)}}\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 1} \right) > 2x\).

Điều kiện: \({2.2^x} + 1 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

\({\log _2}\left( {{{2.2}^x} + 1} \right) > 2x \Leftrightarrow {2.2^x} + 1 > {2^{2x}} \Leftrightarrow  - {2^{2x}} + 2 \cdot {2^x} + 1 > 0\)

\( \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2  < {2^x} < 1 + \sqrt 2  \Leftrightarrow 0 < {2^x} < 1 + \sqrt 2  \Leftrightarrow x < {\log _2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right)\).

b) \(\log (3 - 2x) > {2^{{{\log }_2}\log x}}\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - 2x > 0}\\{x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < \frac{3}{2}}\\{x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \frac{3}{2}.\)

\(\log (3 - 2x) > {2^{{{\log }_2}\log x}} \Leftrightarrow \log (3 - 2x) > \log x \Leftrightarrow 3 - 2x > x \Leftrightarrow 3x < 3 \Leftrightarrow x < 1\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm \(S = ( - \infty ;1)\).

Dạng 4: Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ cơ bản

Với a > 1, biến đổi quy về dạng: \(f\left( {{{\log }_a}g(x)} \right) > b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {\log _a}b\\f(t) > b\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + 3 > 0\).

Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _3^2x - 4{\log _3}x + 3 > 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{\log _3}x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 27\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm \(S = (0;3) \cup (27; + \infty )\).

b) \(\log _{0,5}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x < 5\).

Điều kiện \(x > 0\).

\(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x < 5 \Leftrightarrow \log _2^2x + 4{\log _2}x - 5 < 0\). Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được:

\({t^2} + 4t - 5 < 0 \Leftrightarrow  - 5 < t < 1 \Leftrightarrow  - 5 < {\log _2}x < 1 \Leftrightarrow {2^{ - 5}} < x < 2\).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm \(S = ({2^{ - 5}};2)\).