Giải mục 2 trang 89, 90, 91 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) (H.4.41).

Nếu \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Lời giải chi tiết:

Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) thì \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau.

CH1

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 1 trang 89 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên còn đúng không?

Lời giải chi tiết:

Khẳng định trên không còn đúng vì:

+ Nếu a và b song song thì hai mặt phẳng có thể cắt nhau theo giao tuyến c. Khi đó a // b // c và cùng thuộc một mặt phẳng.

+ Nếu a và b trùng nhau thì hai mặt phẳng có thể cắt nhau theo giao tuyến c và c // a.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 89 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) thì \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: m // BC suy ra m // (BCD).

n // BD suy ra n // (BCD).

Mặt phẳng (m,n) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và n cùng song song với mặt phẳng (BCD) nên mặt phẳng (m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

VD1

Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Lời giải chi tiết:

Do mặt bàn và mặt đất không có điểm chung nên chúng song song với nhau.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 89 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?

Phương pháp giải:

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

Mặt bìa trùng với mặt bàn.

CH2

Trả lời câu hỏi Câu hỏi 2 trang 89 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh: Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) phân biệt có (α) // (β), (β) // (γ). Ta chứng minh (α) // (γ).

Trên mặt phẳng (α) ta có hai đường thẳng cắt nhau a1 và b1. Vì (α) // (β) suy ra a1 // (β); b1 // (β).

Trên mp(β), kẻ a2 // a1, b2 // b1. Vì a1 và b1 cắt nhau suy ra a2 và b2 cũng cắt nhau, (β) // (γ) nên a2 // (γ), b2 // (γ).

Trên mp (γ), kẻ a3 // a2, b3 // b2. Vì a2 và b2 cắt nhau suy ra a3 và b3 cắt nhau.

Ta có: a3 // a1 (vì cùng song song với a2), suy ra a3 // (α).

 b3 // b1 (vì cùng song song với b2), suy ra b3 // (α).

Do đó (γ) // (α).

Vậy nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 90 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho \(\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{NB}}{{NS}} = \frac{{PC}}{{PS}} = \frac{{QD}}{{QS}} = \frac{1}{2}\). Chứng minh rẳng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) thì \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác SAD có: \(\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{QD}}{{QS}}\) suy ra MQ // AD do đó MQ // (ABCD).

Tương tự ta có: QP // (ABCD).

Vậy mp(MPQ) // mp(ABCD).

Lập luận tương tự, ta có mp(NPQ) // (ABCD).

Hai mặt phẳng (MPQ) và (NPQ) cùng đi qua điểm P và cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 90 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46).

a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Vì (P) // (Q), (R) cắt (P) suy ra (R) cũng cắt (Q).

b) a và b lần lượt là giao tuyến của (R) và các mp(P), (Q) do đó a và b đồng phẳng suy ra a và b không thể chéo nhau.

Mà a và b lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song (P) và (Q) suy ra a // b.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 91 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có (MNPQ) // (ABCD) (chứng minh ở Ví dụ 2).

Vì vậy giao tuyến của (EMQ) với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau.

Trong mặt phẳng (EMQ), qua E vẽ đường thẳng ET // MQ (T thuộc CD).

Như vậy, đường thẳng ET là giao tuyến của (EMQ) và (ABCD).