Giải mục 2 trang 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Hoạt động 2

Phép tịnh tiến biến ${T_{\overrightarrow u }}$ iến M thành M', N thành N' (H.1.7).

a) Có nhận xét gì về $\overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'M}$ và $\overrightarrow {M'N}  + \overrightarrow {NN'}$

b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và  $\overrightarrow {M'N'}$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, áp dụng quy tắc 3 điểm điểm làm.

Lời giải chi tiết:

a) Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến điểm M thành M' thì $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$ và biến N thành N' thì $\overrightarrow {NN'}  = \vec u$.

Ta có: $\overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N}  = \overrightarrow u  + \overrightarrow {M'N}$ và $\overrightarrow {M'N}  + \overrightarrow {NN'}  = \overrightarrow {M'N}  + \overrightarrow u$

Do đó, $\overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N}  = \overrightarrow {M'N}  + \overrightarrow {NN'}$

b) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N}$ và $\overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {M'N}  + \overrightarrow {NN'}$

Mà theo câu a) ta có: $\overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N}  = \overrightarrow {M'N}  + \overrightarrow {NN'}$

Do đó, $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'}$

Quảng cáo

Luyện tập 2

Cho đường tròn (O; R) và điểm O' khác điểm O. Với mỗi điểm M thuộc (O; R) sao cho O, O', M không thẳng hàng, vẽ hình bình hành MOO'M'. Hỏi khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường nào?

Phương pháp giải:

Vẽ hình và chứng minh M’ thay đổi trên trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: MOO'M' là hình bình hành nên $\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {O'M'}$ và  $\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {MM'}$

Vì OM = R nên $O'M' = \left| {\overrightarrow {O'M'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = R$ , R cố định nên O' luôn cách M' một khoảng không đổi bằng R.

Do O, O' cố định và $\overrightarrow {OO'}  = \overrightarrow {MM'}$ nên phép tịnh tiến theo vectơ  $\overrightarrow {OO'}$ biến điểm M thành điểm M'. Suy ra nếu M thay đổi trên (O; R) thì M' luôn là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Lại có phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$ biến đường tròn (O; R) thành đường tròn có bán kính là R và có tâm là ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$ hay chính là điểm O'. Điều này có nghĩa là đường tròn (O'; R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Mà O'M' = R không đổi nên M' luôn thuộc đường tròn (O'; R).

Vậy khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Vận dụng 2

Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u$ có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, dựa vào định nghĩa: Cho vectơ  $\overrightarrow u$. Phép hiến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$ gọi là phép tịnh tiến theo $\overrightarrow u$, kí hiệu ${T_{\overrightarrow u }}$. Vectơ $\overrightarrow u$ được gọi là vectơ  tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Đặt một số điểm như hình vẽ.

Ta thấy:  $\overrightarrow {HE}  = \overrightarrow u ,\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow u ,\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow u$ nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến các điểm H, C, E tương ứng thành E, D, F. Do đó, ${T_{\overrightarrow u }}$ biến tam giác HCE thành tam giác EDF hay phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến một viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh. Đối với các viên gạch màu xanh khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh.
Ta cũng có: $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow u ,\overrightarrow {DG}  = \overrightarrow u ,\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow u$  nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến các điểm C, D, E tương ứng thành D, G, F. Do đó, ${T_{\overrightarrow u }}$ biến tam giác CDE thành tam giác DGF hay phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến một viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ. Đối với các viên gạch màu đỏ khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ.