

Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)
Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...
Câu hỏi khởi động
Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng 12.12.
Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng 14.14.
Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.
Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng a2a2.
=> Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần
=> Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi 2n2n so với hình ban đầu.
=> Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là 12n12n
Hoạt động
Xét mệnh đề chứa biến P(n): “1+3+5+...+(2n−1)=n21+3+5+...+(2n−1)=n2” với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1+3+5+...+(2k−1)1+3+5+...+(2k−1) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2+[2(k+1)−1]=(k+1)2k2+[2(k+1)−1]=(k+1)2.
Lời giải chi tiết:
a) Mệnh đề P(1) là: “1=121=12”, rõ ràng mệnh đề này đúng.
b) Mệnh đề P(k) là: “1+3+5+...+(2k−1)=k21+3+5+...+(2k−1)=k2”
Mệnh đề P(k) đúng thì 1+3+5+...+(2k−1)1+3+5+...+(2k−1) bằng k2k2
c) Mệnh đề P(k+1) là: “1+3+5+...+[2(k+1)−1]=(k+1)21+3+5+...+[2(k+1)−1]=(k+1)2”
Mệnh đề P(k) đúng nên ta có 1+3+5+...+(2k−1)=k21+3+5+...+(2k−1)=k2
⇒1+3+5+...+[2(k+1)−1]=1+3+5+...+(2k−1)+[2(k+1)−1]=k2+[2(k+1)−1]=k2+2k+1=(k+1)2⇒1+3+5+...+[2(k+1)−1]=1+3+5+...+(2k−1)+[2(k+1)−1]=k2+[2(k+1)−1]=k2+2k+1=(k+1)2
Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Luyện tập – vận dụng 1
Chứng minh:
a) 1√1+√2+1√2+√3+...+1√n+√n+1=√n+1−11√1+√2+1√2+√3+...+1√n+√n+1=√n+1−1 với mọi n∈N∗
b) 23−123+1.33−133+1.43−143+1...n3−1n3+1=2(n2+n+1)3n(n+1) với mọi n∈N∗,n≥2
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với n≥p thì:
Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với n=p
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi n=1 ta có 1√1+√2=√2−1, đúng
vì (√2+√1)(√2−√1)=2−1=1⇒1√2+√1=√2−√1=√2−1
Như vậy đẳng thức đúng với n=1
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
1√1+√2+1√2+√3+...+1√k+1+√k+2=√k+2−1
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
1√1+√2+1√2+√3+...+1√k+√k+1=√k+1−1
Suy ra
1√1+√2+1√2+√3+...+1√k+1+√k+2=√k+1−1+1√k+1+√k+2=(√k+1)2+√k+1.√k+2+1√k+1+√k+2−1=k+2+√k+1.√k+2√k+1+√k+2−1=√k+2(√k+2+√k+1)√k+1+√k+2−1=√k+2−1
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi n∈N∗. Tức là:
1√1+√2+1√2+√3+...+1√n+√n+1=√n+1−1 với mọi n∈N∗
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Khi n=2 ta có 23−123+1=2(22+2+1)3.2(2+1), đúng
vì 23−123+1=79;2(22+2+1)3.2(2+1)=2.73.2.3=79
Như vậy đẳng thức đúng với n=2
Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
23−123+1.33−133+1.43−143+1...(k+1)3−1(k+1)3+1=2((k+1)2+(k+1)+1)3(k+1)(k+2)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
23−123+1.33−133+1.43−143+1...(k+1)3−1(k+1)3+1=2((k+1)2+(k+1)+1)3(k+1)(k+2)
Suy ra
23−123+1.33−133+1.43−143+1...(k+1)3−1(k+1)3+1=2(k2+k+1)3k(k+1).(k+1)3−1(k+1)3+1=2(k2+k+1)3k(k+1).[(k+1)−1][(k+1)2+(k+1)+1][(k+1)+1][(k+1)2−(k+1)+1]=2(k2+k+1)3k(k+1).k[(k+1)2+(k+1)+1](k+2)(k2+2k+1−k−1+1)=2(k2+k+1)3k(k+1).k[(k+1)2+(k+1)+1](k+2)(k2+k+1)=2[(k+1)2+(k+1)+1]3(k+1)(k+2)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi n∈N∗,n≥2. Tức là:
23−123+1.33−133+1.43−143+1...n3−1n3+1=2(n2+n+1)3n(n+1) với mọi n∈N∗,n≥2


- Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
- Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục