Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Quan sát Hình 6

Đề bài

Quan sát Hình 6

a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm đó từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải (tạo thành hình vuông)

b) Giả sử hình vuông thứ n có mỗi cạnh chứa n chấm. Tính tổng số chấm được xếp trong hình vuông (kể cả trên cạnh). Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) Đầu tiên xếp 1 chấm đỏ.

Xếp 3 chấm màu vàng vào phía bên phải và bên dưới chấm đỏ để tạo thành 1 hình vuông.

Xếp 5 chấm màu đỏ vào phía bên phải và bên dưới các chấm trước đó để tạo thành 1 hình vuông.

Xếp 7 chấm màu vàng vào phía bên phải và bên dưới các chấm trước đó để tạo thành 1 hình vuông.

…

Cứ như vậy, các chấm đỏ và vàng được xếp xen kẽ nhau tạo thành 1 hình vuông.

Trong đó số chấm thêm vào để tạo thành hình vuông là các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.

b) Nhận xét: Hình vuông thứ n mỗi cạnh có n chấm. Hình vuông này được tạo bởi n hàng, trong mỗi hàng có n chấm

=> Số chấm được xếp trong hình vuông (kể cả trên cạnh) là \(n.n = {n^2}\) (chấm)

Mặt khác: Theo cách xếp thì số chấm để tạo thành hình vuông thứ n là: \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)\)

Ta chứng minh \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\) bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \(1 = {1^2}\) hiển nhiên đúng

Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\(1 + 3 + 5 + ... + \left[ {2(k + 1) - 1} \right] = {(k + 1)^2}\) hay \(1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = {(k + 1)^2}\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)

Suy ra

\(1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = {k^2} + (2k + 1) = {(k + 1)^2}\)

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa
Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng.
Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)
Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh \({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.\)
Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:
Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho q là số thực khác 1.
Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) và \({T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) và \({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)