Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Cánh diều
Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập T..
Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Đề bài
Chứng minh \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({a^1} - {b^1} = a - b\) hiển nhiên đúng
Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:
\({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^{k + 1 - 1}} + {a^{k + 1 - 2}}b + ... + a{b^{k + 1 - 2}} + {b^{k + 1 - 1}})\) hay \({a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
\({a^k} - {b^k} = (a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}})\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} - {b^{k + 1}} = a.{a^k} - b.{b^k} = a\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + a{b^k} - b.{b^k} = a\left( {{a^k} - {b^k}} \right) + \left( {a - b} \right).{b^k}\\ = a.(a - b)({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + \left( {a - b} \right).{b^k}\\ = (a - b)\left[ {a({a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + ... + a{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}) + {b^k}} \right]\\ = (a - b)({a^k} + {a^{k - 1}}b + ... + a{b^{k - 1}} + {b^k})\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Cánh diều - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
