-
Giải Toán 12 tập 1 - Cánh diều
-
Giải Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 8 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau: a) (fleft( x right) = 2{x^3} - 6x) trên đoạn (left[ { - 1;3} right]); b) (fleft( x right) = frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}) trên đoạn (left[ {1;5} right]); c) (fleft( x right) = frac{{Inleft( {x + 1} right)}}{{x + 1}}) trên đoạn (left[ {0;3} right]); d) (fleft( x right) = 2sin3x + 7x + 1) trên đoạn (left[ {frac{{ - pi }}{2};frac{pi }{2}} right])
GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT
Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn
Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\);
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{{ln\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);
d) \(f\left( x \right) = 2\sin 3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho hàm số y = f(x).
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]\) sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.
Bước 3: Tính \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\). Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là \(\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)\), giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là \(\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)\).
Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng chứa \( \pm \infty \), ta cầm tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x)\) và so sánh.
Lời giải chi tiết
a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
Tìm điểm cực trị: \(f'\left( x \right) = 0 \to 6{x^2} - 6 = 0 \to x = - 1, x = 1\).
So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn:
\(f\left( { - 1} \right) = 2{( - 1)^3} - 6\left( { - 1} \right) = - 2 + 6 = 4\);
\(f\left( 1 \right) = 2{(1)^3} - 6\left( 1 \right) = 2 - 6 = - 4\);
\(f\left( 3 \right) = 2{(3)^3} - 6\left( 3 \right) = 54 - 18 = 36\).
Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là \( - 4\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là 36 (tại \(x = 3\)).
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\).
\(f'(x) = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Khi đó trên đoạn [1;5] không tồn tại x để f’(x) = 0.
So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:
\(f\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 3.1 + 6}}{{1 + 2}} = \frac{{10}}{3}\); \(f\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 3.5 + 6}}{{5 + 2}} = \frac{{46}}{7}\).
Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) là \(\frac{{10}}{3}\) (tại \(x = 1\)), và GTLN là \(\frac{{46}}{7}\) (tại \(x = 5\)).
c) \(f\left( x \right) = \frac{{\ln\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
So sánh giá trị hàm số:
\(f\left( 0 \right) = \frac{{\ln \left( {0 + 1} \right)}}{{0 + 1}} = 0\); \(f(e - 1) = \frac{1}{{e + 1}}\); \(f\left( 3 \right) = \frac{{\ln \left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\).
Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là 0 (tại \(x = 0\)), và GTLN là \(\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}\) (tại \(x = 3\)).
d) \(f\left( x \right) = 2\sin3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
\(f'(x) = 6\cos 3x + 7\). Khi đó trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có f’(x) > 0, hàm số đồng biến.
So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:
\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 3 - \frac{{7\pi }}{2}\);
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 = - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\).
Vậy GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(3 - \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{{ - \pi }}{2}\)), và GTLN là \( - 1 + \frac{{7\pi }}{2}\) (tại \(x = \frac{\pi }{2}\)).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài tập 9 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
- Giải bài tập 10 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
- Giải bài tập 11 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
- Giải bài tập 12 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
- Giải bài tập 13 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
