Giải bài tập 1.39 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Một cổng vòm có dạng nửa hình tròn trên mặt đất với bán kính R=5 m. Người ta muốn đặt một khung hình chữ nhật ABCD để thiết kế trang trí, với hai điểm A,B đính trên vòm và CD đặt trên mặt đất (Hình 1.68). Tìm khoảng cách A,B so với mặt đất để diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.

Đề bài

Một cổng vòm có dạng nửa hình tròn trên mặt đất với bán kính R=5 m. Người ta muốn đặt một khung hình chữ nhật ABCD để thiết kế trang trí, với hai điểm A,B đính trên vòm và CD đặt trên mặt đất (Hình 1.68). Tìm khoảng cách A,B so với mặt đất để diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đặt y (m) là khoảng cách từ AB đến mặt đất. Vì A và B nằm trên vòm nửa hình tròn có bán kính R=5 m, nên tọa độ của A và B có thể biểu diễn dưới dạng (x,y).

- Tìm phương trình đường tròn và tính diện tích S của hình chữ nhật ABCD.

- Biểu diễn S dưới dạng một hàm của y và cực đại hóa S bằng cách tìm đạo hàm.

Lời giải chi tiết

Gọi y (m) là khoảng cách từ A và B đến mặt đất (y>0).

Vì A và B nằm trên nửa hình tròn có tâm tại gốc tọa độ (0,0) và bán kính R=5 m, tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình đường tròn:

\({x^2} + {y^2} = 25\)

Giả sử A có toạ độ \(( - x,y)\) và B có toạ độ \((x,y)\).

Chiều dài AB là: \(\sqrt {{{( - x - x)}^2} + {{(y - y)}^2}} = 2x\)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \(S = AB.AD = 2xy\)

Thay \(x = \sqrt {25 - {y^2}} \) vào biểu thức diện tích ta được: \(S = 2\sqrt {25 - {y^2}} .y\)

Đạo hàm của S theo y: \(\)\(S' = 2\left( {\sqrt {25 - {y^2}} + y.\frac{{ - y}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}} \right) = 2\left( {\frac{{25 - {y^2} - {y^2}}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}} \right) = 2\left( {\frac{{25 - 2{y^2}}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}} \right)\)

Đặt đạo hàm bằng 0, ta có: \(S' = 0 \Leftrightarrow 25 - 2{y^2} = 0 \Leftrightarrow 2{y^2} = 25 \Rightarrow y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Đạo hàm cấp 2 của S:

\(\begin{array}{l}S'' = 2.\frac{{ - 4y.\sqrt {25 - {y^2}} + (25 - 2{y^2})\frac{y}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}}}{{25 - {y^2}}}\\ = 2.\frac{{ - 4y\sqrt {25 - {y^2}} + \frac{{y\left( {25 - 2{y^2}} \right)}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}}}{{25 - {y^2}}}\\ = 2.\frac{{ - 4y\left( {25 - {y^2}} \right) + y\left( {25 - 2{y^2}} \right)}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\\ = 2.\frac{{ - 4y\left( {25 - {y^2}} \right) + y\left( {25 - 2{y^2}} \right)}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\\ = 2.\frac{{ - 100y + 4{y^3} + 25y - 2{y^3}}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\\ = 2.\frac{{ - 75y + 2{y^3}}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\end{array}\)

Thay \(y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) vào đạo hàm cấp 2 ta được:

\(S''\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) = 2.\frac{{ - 75.\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) + 2{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}}}{{\left( {25 - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \right)\sqrt {25 - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = - 8 < 0\)

Vì giá trị âm nên \(y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)là cực đại của hàm S.

Vậy A, B cách mặt đất một khoảng \(y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) thì diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức: \(v(t) = 0,001302{t^3} - 0,09029{t^2} + 23,61t - 3,083{\rm{ (feet/gi\^a y) }}\) (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này
Giải bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 5x - 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. \((5; + \infty )\). B. \(( - \infty ;1)\). C. \(( - 2;3)\). D. \((1;5)\).
Giải bài tập 1.42 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; - 2) \cup ( - 2; + \infty )\). B. Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;0)\). C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 2)\) và \(( - 2; + \infty )\).
Giải bài tập 1.43 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như Bảng 1.5. Khẳng định nào sau đây đúng?
Giải bài tập 1.44 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 7x + 3}}{{{x^2}}}\) có đồ thị là đường cong như Hình 1.70. Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Giải bài tập 1.45 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30000 đồng/kg thì hết rau, nếu giá bán cứ tăng thêm 1000 đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg . Số rau thừa này được bán để làm thức ăn cho gia súc với giá 2000 đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu? A. 32420000 đồng. B. 32400000 đồng. C. 34400000 đồng. D. 32240000 đồng.
Giải bài tập 1.46 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (f(x) = - {x^3} + 2{x^2} - 1) trên đoạn ([ - 1;2]) là A. ( - frac{{43}}{{27}}). B. ( - frac{5}{{27}}). C. -2 . D. ( - frac{{50}}{{27}}).
Giải bài tập 1.47 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 60 ngày. Người ta nhận thấy lượng gạo xuất khẩu tính theo ngày thứ \(t\) được xác định bởi công thức: \(S(t) = \frac{2}{5}{t^3} - 63{t^2} + 3240t - 3100\) (tấn) \((1 \le t \le 60)\). Hỏi trong 60 ngày đó, ngày thứ mấy có lượng gạo xuất khẩu cao nhất? A. 60. B. 45. C. 30. D. 25.
Giải bài tập 1.48 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) là đường cong trong hình nào dưới đây?
Giải bài tập 1.49 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Đường cong trong Hìhh 1.71 là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 2}}\). B. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\). C. \(y = \frac{{ - x}}{{1 - x}}\). D. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
Giải bài tập 1.38 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong Hóa học, xét một số phản ứng đơn giản một chiều có dạng: aA+bB→cC+dDa trong đó A,B,C,D là các chất hóa học và a,b,c,d là các hệ số cân bằng. Theo định luật tác dụng khối lượng (M. Guldberg & P. Waage, 1864), tốc độ phản ứng hóa học được xác định bởi công thức: v=k[A]a[B]b trong đó k là hằng số tốc độ phản ứng chỉ phụ thuộc vào bản chất của chất phản ứng và nhiệt độ; [A],[B] lần lượt là nồng độ mol của các chất A, B tại thời điểm đang xét (đơn vị mol/l). Biết phương trình tạo ra khí n
Giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là: \(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\) Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.
Giải bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: \(y = f(x) = 8x + 0,3{x^2} - 0,0013{x^3} - 372\) (triệu đồng) a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi? b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?
Giải bài tập 1.35 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{3x + 6}}{{2 - x}}\) b) \(y = 2x + \frac{3}{{2 - x}}\)
Giải bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài tập 1.33 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) có đồ thị là đường cong như Hình 1.67. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?
Giải bài tập 1.31 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Từ một miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 20cm x 10cm, bạn Lan cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là x (cm) và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc Hình 1.65) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm x để thể tích hộp là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Giải bài tập 1.30 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Lập bảng biến thiên, tìm khoảng đơn điệu và cực trị (nếu có) của hàm số: a) \(y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\) b) \(y = \frac{{x - 6}}{{1 - 2x}}\) c) \(y = \sqrt {4x - {x^2}} \)
Giải bài tập 1.29 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \infty ; - 1),( - 1; + \infty )\) và có bảng biến thiên như Bảng 1.4. Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số đã cho.