Giải bài 9.16 trang 92 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình thang ABCD

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M, N lần lượt trên cạnh AD và BC sao cho 2AM=MD, 2BN=NC. Biết AB=5cm,CD=6cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi I là giao điểm của AC và MN

Sử dụng các tam giác đồng dạng để tính độ dài MI, IN. Từ đó tính độ dài đoạn MN.

Lời giải chi tiết

Gọi I là giao điểm của AC và MN

Vì 2AM=MD suy ra \(\frac{{AM}}{{M{\rm{D}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}\)

Vì 2BN=NC suy ra \(\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{NC}}{{CB}} = \frac{2}{3}\)

Xét hình thang ABCD có \(\frac{{AM}}{{M{\rm{D}}}} = \frac{{BN}}{{NC}}\) suy ra MN // AB //DC

Xét hai tam giác AMI và ADC có: góc A chung, \(\widehat {AIM} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) (do MN// DC)

Suy ra \(\Delta AMI \backsim \Delta A{\rm{D}}C\) suy ra: \(\frac{{AM}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{MI}}{{DC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MI = \frac{1}{3}.DC = \frac{1}{3}.6 = 2(cm)\)

Xét hai tam giác CNI và CBA có góc C chung, \(\widehat {CIN} = \widehat {CAB}\) (do MN // AB)

Suy ra \(\Delta CNI \backsim \Delta CBA\) suy ra: \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{NI}}{{BA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow NI = \frac{2}{3}.BA = \frac{2}{3}.5 = \frac{{10}}{3}\)(cm)

MN = MI + IN = \(2 + \frac{{10}}{3} = \frac{{16}}{3}(cm)\)