Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân ở \(B\), \(ACF\) vuông cân ở \(C\).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân ở \(B\), \(ACF\) vuông cân ở \(C\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC\), \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BF\) (Hình 9). Chứng minh:

a) \(AH = AK\)

b) \(A{H^2} = A{K^2} = HB.KC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(AB = c,AC = b\). Vì \(BD//AC\) (cùng vuông góc với \(AB\)) và \(BD = AB\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\)

→ \(\frac{{AH}}{{AH + HB}} = \frac{b}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{b}{{b + c}}\)

Do đó \(AH = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (1)

Tương tự, ta có \(AB//CF\) (cùng vuông góc với \(AC\)) và \(CF = AC\) nên

\(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\).

→ \(\frac{{AK}}{{KC + AK}} = \frac{c}{{b + c}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{c}{{b + c}}\).

Do đó \(AK = \frac{{bc}}{{b + c}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(AH = AK\).

b) Từ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{b}{c}\) và \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{CF}} = \frac{c}{b}\)

→ \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AK}}\).

Mà \(AK = AH\) nên \(\frac{{AH}}{{HB}} = \frac{{KC}}{{AH}}\)

Do đó \(A{H^2} = A{K^2} = BH.KC\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Trong Hình 10, cho biết \(ABCD\) là hình thang, \(AB//CD\left( {AB < CD} \right)\); \(M\) là trung điểm của \(DC\); \(AM\) cắt \(BD\) ở \(I\); \(BM\) cắt \(AC\) ở \(K\); \(IK\) cắt \(AD,BC\) lần lượt ở \(E,F\). Chứng minh:
Giải bài 7 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho \(ABCD\) là hình bình hành. Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 11). Chứng minh:
Giải bài 8 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác \(ABC\) nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng \(MN\).
Giải bài 9 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, đường cao \(AH\). Trên \(AH,AB,AC\) lần lượt lấy các điểm \(D,E,F\) sao cho \(\widehat {EDC} = \widehat {FDB} = 90^\circ \). Chứng minh: \(EF//BC\).
Giải bài 4 trang 60 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Tòa nhà Bitexco Financial (hay thóa tài chính Bitexco) được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không kể các tầng hầm).
Giải bài 3 trang 59 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho tam giác \(ABC\). Một đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) và cắt các cạnh \(AB,AC\) của tam giác đó lần lượt tại \(M,N\) với \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) và \(AN + AC = 16\) cm. Tính \(AN\).
Giải bài 2 trang 59 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho các đoạn thẳng \(EF = 6cm,GH = 3cm,IK = 5cm,MN = xcm\). Tìm \(x\) để hai đoạn thẳng \(EF\) và \(GH\) tỉ lệ với hai đoạn thẳng \(IK\) và \(MN\).
Giải bài 1 trang 59 sách bài tập toán 8 – Cánh diều
Cho các đoạn thẳng \(AB = 6cm,CD = 4cm,PQ = 8cm,EF = 10cm,MN = 25cm,RS = 15cm\) Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau: