Giải bài 44 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều>
Cho hình vuông \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) thuộc đường chéo \(BD\). Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\),\(MF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F\).
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên
Đề bài
Cho hình vuông \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) thuộc đường chéo \(BD\). Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\),\(MF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F\).
a) Chứng minh: \(DE = CF;DE \bot CF\).
b) Chứng minh ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm.
c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đường chéo \(BD\) để diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) là giao điểm của \(DE\) và \(CF\), \(K\) là giao điểm của \(CM\) và \(EF\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có:
\(\widehat {DAB} = 90^\circ ,CD = DA,\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^\circ \)
a) Ta chứng minh được tam giác \(FDM\) vuông cân tại \(F\).
Suy ra \(FM = DF\)
Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {MFA} = \widehat {FAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật. Suy ra \(AE = FM\).
Do đó \(AE = DF\) (vì cùng bằng \(FM\))
\(\Delta ADE = \Delta DCF\) (c.g.c). Suy ra \(DE = CF\), \(\widehat {AED} = \widehat {DFC}\).
Trong tam giác \(ADE\) vuông tại \(A\), ta có: \(\widehat {AED} + \widehat {ADE} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DFC} + \widehat {ADE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DFH} + \widehat {FHD} = 90^\circ \). Từ đó ta tính được \(\widehat {DHF} = 90^\circ \). Vậy \(DE \bot CF\).
b) Tương tự câu a, ta chứng minh được \(BF \bot CE\).
\(\Delta ABM = \Delta CBM\) (c.g.c). Suy ra \(AM = CM\). Mà \(EF = AM\) (vì \(AEMF\) là hình chữ nhật) suy ra \(EF = CM\).
\(\Delta DEF = \Delta FCM\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {DEF} = \widehat {FCM}\) hay \(\widehat {FEH} = \widehat {FCK}\)
Trong tam giác \(HEF\) vuông tại \(H\), ta có \(\widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {FCK} + \widehat {EFH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {FCK} + \widehat {KFC} = 90^\circ \). Từ đó, ta tính được \(\widehat {CKF} = 90^\circ \). Do đó, \(CK \bot EF\).
Trong tam giác \(CEF\), ta có: \(DE \bot CF,BF \bot CE,CM \bot EF\) nên ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) là các đường cao của tam giác \(CEF\). Vậy ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm.
c) Chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) là: \(2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {DF + AF} \right) = 2AD\)
Mà \(AD\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất khi \(AEMF\) là hình vuông. Suy ra \(ME = MF\).
Khi đó \(\Delta BEM = \Delta DFM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(BM = DM\) hay \(M\) là trung điểm của \(BC\)
Vậy với \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.
- Giải bài 43 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
- Giải bài 42 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
- Giải bài 41 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
- Giải bài 40 trang 103 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
- Giải bài 39 trang 103 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
>> Xem thêm