Giải bài 3.3 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống>
Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:
Đề bài
Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:
a) Bé hơn chu vi của tứ giác;
b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lý bất đẳng thức trong tam giác.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là \({P_{ABCD}}\; = AB + BC + CD + DA\).
a) Trong \(\Delta ABC\) có \(AC < AB + BC\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Trong \(\Delta ACD\) có \(AC < CD + DA\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Do đó \(AC + AC < AB + BC + \;CD + DA\) hay \(2AC < {P_{ABCD}}\;\) (1)
Tương tự, trong \(\Delta ABD\) có \(BD < AD + AB\)
Trong \(\Delta BCD\) có: \(BD < CD + BC\)
Do đó \(BD + BD < AD + AB + CD + BC\) hay \(2BD < {P_{ABCD}}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\left( {AC + BD} \right) < 2{P_{ABCD}}\), do đó \(AC + BD < {P_{ABCD}}\).
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong \(\Delta OAB\) có \(OA + OB > AB\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Trong \(\Delta OCD\) có \(OC + OD > CD\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Nên \(AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD\).
Trong \(\Delta OAD\) có \(OA + OD > AD\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Trong \(\Delta OBC\) có \(OB + OC > BC\) (bất đẳng thức trong tam giác)
Nên \(AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC\).
Vậy \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA = {P_{ABCD}}\)
Tức là \(AC + BD\; > \frac{1}{2}{P_{ABCD}}\) (đpcm).
- Giải bài 3.4 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 3.5 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 3.6 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 3.2 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 3.1 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài 16 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 15 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 14 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 13 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 12 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 16 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 15 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 14 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 13 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 12 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống