Giải bài 2 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).

Lời giải chi tiết

a) Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều, G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó, \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SG\)

Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat {ABC} = {60^0}\).

Gọi I là giao điểm của AG và BC. Khi đó, \(AG = \frac{2}{3}AI\)

Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABI vuông tại I. Suy ra: \(AI = AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = a\sqrt 3 \)

Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right),AG \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot AG\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ASG vuông tại G có:

\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\)

b) Vì \(SC \cap \left( {SAG} \right) = S \) \(\Rightarrow \frac{{d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{CS}} = \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)\)

Vì \(CB \bot AI,CB \bot SG \Rightarrow CB \bot \left( {SAG} \right)\). Mà \(CB \cap \left( {SAG} \right) = I\)

Do đó, \(d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right) = CI = \frac{1}{2}BC = \frac{{3a}}{2}\). Vậy \(d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{{3a}}{4}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 3 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’.
Giải bài 4 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt {11} \). Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.
Giải bài 5 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp tam giác S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, \(AC = a\sqrt 2 \), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC).
Giải bài 6 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = a\sqrt 3 \), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có \(AB = a,AD = 3a,BC = a\).
Giải bài 7 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{12}}\). Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).
Giải bài 8 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước 2cm, 3cm và 6cm. Tính thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Giải bài 9 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao \(HH' = 2a\). Cho biết \(AB = 2a,A'B' = a\). Gọi \({B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:
Giải bài 10 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính thể tích của một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 80cm, đáy nhỏ có cạnh bằng 40cm và cạnh bên bằng 80cm.
Giải bài 1 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).