Giải bài 2 trang 38 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P)

a) Tại điểm \(\left( { - 1;1} \right)\);

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng \(y =  - 3x + 2\).

Lời giải chi tiết

Với \({x_0}\) bất kì ta có:

\(y'\left( {{x_0}} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) - y\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0}} \right) = 2{x_0}\)

Do đó, \(y' = 2x\)

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) là: \(y'\left( { - 1} \right) = 2.\left( { - 1} \right) =  - 2\)

b) Hoành độ giao điểm của (P) với đường thẳng \(y =  - 3x + 2\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} =  - 3x + 2 \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Do đó, \(k = y'\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}} \right) =  - 3 + \sqrt {17}\), \(k = y'\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}} \right) =  - 3 - \sqrt {17} \)

Vậy hệ số góc tại giao điểm của (P) với đường thẳng \(y =  - 3x + 2\) là: \(k =  - 3 + \sqrt {17} ;k =  - 3 - \sqrt {17} \)