Giải bài 2 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó. a) \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\); b) \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\).

Đề bài

Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\);

b) \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là:

+ Hàm số chẵn nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\).

+ Hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).

- Sử dụng kiến thức về hàm số tuần hoàn để chứng minh: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số \(T \ne 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( T \right)\). Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{2} + k3\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Vì \(x \pm 6\pi \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(3\sin \left( {x + 6\pi } \right) + 2\tan \frac{{x + 6\pi }}{3} = 3\sin x + 2\tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right) = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\)

Do đó, hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số tuần hoàn.

Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(3\sin \left( { - x} \right) + 2\tan \frac{{ - x}}{3} = - 3\sin x - 2\tan \frac{x}{3} = - \left( {3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}} \right)\)

Suy ra hàm số \(y = 3\sin x + 2\tan \frac{x}{3}\) là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là: \(D = \mathbb{R}\)

Vì \(x \pm 4\pi \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(\cos \left( {x + 4\pi } \right)\sin \frac{{\pi - \left( {x + 4\pi } \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\frac{{\pi - x}}{2} - 2\pi } \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\)

Do đó, hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là hàm số tuần hoàn.

Vì \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và

\(y = \cos \left( { - x} \right)\sin \frac{{\pi - \left( { - x} \right)}}{2} = \cos x\sin \left( {\pi - \frac{{\pi - x}}{2}} \right) = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\)

Suy ra hàm số \(y = \cos x\sin \frac{{\pi - x}}{2}\) là hàm số chẵn.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 3 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x\); b) \({\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)\).
Giải bài 4 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giải các phương trình lượng giác sau: a) \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + \sin x \) \( = 0\); b) \({\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \) \( = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\); c) \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}x \) \( = 1\)
Giải bài 5 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Vận tốc \({v_1}\left( {cm/s} \right)\) của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc \({v_2}\left( {cm/s} \right)\) của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi các công thức: \({v_1}\left( t \right) \) \( = - 4\cos \left( {\frac{{2t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)\) và \({v_2}\left( t \right) \) \( = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\) Xác định các thời điểm t mà tại đó: a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2cm/s. b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc củ
Giải bài 1 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin 2\alpha \); b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\);
Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 32, 33 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{13\pi }}{7}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác nào sau đây? A. \(\frac{{6\pi }}{7}\). B. \(\frac{{20\pi }}{7}\).