Giải bài 1.44 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng (3) km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P (12) km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc (2,5) km/h và đi bộ với vận tốc (4) km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Đề bài

Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng \(3\) km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P \(12\) km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc \(2,5\) km/h và đi bộ với vận tốc \(4\) km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn biểu diễn khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA.

+ Biểu diễn tổng quãng đường mà người đó phải di chuyển theo x từ đó biểu diễn tổng thời gian.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng thời gian đó (đưa về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn đã học).

Lời giải chi tiết

Gọi vị trí hòn đảo là B và vị trí thuyền neo đậu trên bờ là C.

Ta cần tìm vị trí điểm C trên đoạn PA sao cho thời gian thuyền đi từ đảo vào bờ (đoạn BC) và đi bộ tiếp từ C đến thị trấn A (đoạn CA) là ngắn nhất.

Gọi đoạn PC = x (km) với \(0 \le x \le 12\).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BPC vuông tại P có: \(BC = \sqrt {{x^2} + 9} \) (km).

Thuyền đi với vận tốc 2,5 km/h nên thời gian đi hết đoạn BC là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{2,5}}\) (giờ).

Ta có: AC = PA – x = 12 – x (km).

Người đi bộ với vận tốc 4 km/h nên thời gian đi hết đoạn AC là \(\frac{{12 - x}}{4}\) (giờ).

Tổng thời gian người đó đi từ đảo đến thị trấn A là: \(T(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{2,5}} + \frac{{12 - x}}{4}\) (giờ).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm T(x) trên đoạn [0;12].

Ta có: \(T'(x) = \frac{{2x}}{{5\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{4}\).

\(T'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{5\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow 8x = 5\sqrt {{x^2} + 9} \).

Giải phương trình trên ta được \(x = \frac{{5\sqrt {39} }}{{13}} \approx 2,4\) là giá trị thỏa mãn điều kiện.

Bảng biến thiên:

Vậy điểm neo đậu thuyền trên đoạn PA cách P khoảng 2,4 km để thời gian di chuyển là ngắn nhất.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích (V) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Giải bài 1.46 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Ở ({0^ circ }C), sự mất nhiệt (H) (tính bằng Kcal/m2h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal=1000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hóa bằng công thức (H = 33left( {10sqrt v - v + 10,45} right),) Trong đó (v) là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009). a) Xét tính đơn điệu của hàm số (H) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được. b) Tìm tốc độ thay đổi của (H) khi (v = 2) m/
Giải bài 1.47 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Doanh thu (R) (USD) từ vệc cho thuê (x) căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số (R = 2xleft( {900 + 32x - {x^2}} right)). a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tìm doanh thu biên khi (x = 14) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó. c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ (14) lên (15).
Giải bài 1.48 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một công ty ước tính rằng chi phí (C) (USD) để sản xuất (x) đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức (C = 800 + 0,04x + 0,0002{x^2}). Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình (overline C left( x right) = frac{{Cleft( x right)}}{x}) cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.
Giải bài 1.49 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
a) Nếu \(C\left( x \right)\) (USD) là chi phí sản xuất \(x\) đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình. b) Nếu \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\), hãy tìm: (i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất \(100\) đơn vị hàng hóa; (ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bì
Giải bài 1.50 trang 33 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận (Pleft( x right)) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên. b) Cho (Cleft( x right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}) là hàm chi phí và (pleft( x right) = 1700 - 7x) là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa lợi nhuận.
Giải bài 1.43 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là \(2000\) cm3. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?
Giải bài 1.42 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic \(R = R\left( x \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - x}}}},x \ge 0\), trong đó thời gian \(x\) được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?
Giải bài 1.41 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Bác Hưng có một hàng rào thép dài (240) m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?