Giải bài 1.29 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{x + 2}}{{x - 3}}) có đồ thị (left( C right)). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (left( {x;y} right) in left( C right)), với (x > 3) tới hai đường tiệm cận của (left( C right)) là (gleft( x right)). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = gleft( x right)).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\), với \(x > 3\) tới hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là \(g\left( x \right)\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\).

+ Tìm tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đồ thị đến hai đường tiệm cận ta có được công thức của \(g\left( x \right)\), chú ý điều kiện \(x > 3\).

+ Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) bằng cách tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 1\). Do đó đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) suy ra \(M\left( {x;\frac{{x + 2}}{{x - 3}}} \right)\). Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x = 3\) là \({d_1} = \left| {x - 3} \right|\), khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 1\) là \({d_2} = \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 3}} - 1} \right| = \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}}\).

Ta có \(g\left( x \right) = {d_1} + {d_2} = \left| {x - 3} \right| + \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}} = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}\), vì \(x > 3\).

Ta sẽ tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) = - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 3}} = 0\), suy ra đường thẳng \(y = x - 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vậy \(g\left( x \right)\) với \(x > 3\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 3\) và một tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 3\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.30 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một bình chứa (200) ml dung dịch muối với nồng độ (5) mg/ml. a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào (x) ml dung dịch muối với nồng độ (10) mg/ml. b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ (9) mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến (10) mg/ml không?
Giải bài 1.28 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{sqrt {{x^2} + 3} }}{{x - 1}}) có đồ thị như hình vẽ sau: Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài 1.27 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Gọi (I) là giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{2x + 3}}{{x - 2}}). Chọn điểm (Kleft( {3;5} right)), tính hệ số góc của đường thẳng đi qua (I) và (K).
Giải bài 1.26 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = frac{{x + 1}}{{x - 1}}) có đồ thị (C). Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.
Giải bài 1.25 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có bảng biến thiên như sau:
Giải bài 1.24 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có bảng biến thiên như sau: Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài 1.23 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}}); b) (y = frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}).
Giải bài 1.22 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) (y = frac{{x + 1}}{{2x - 3}}); b) (y = frac{{3x - 1}}{{x + 2}}).
Giải bài 1.21 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{{x^2} + 3x - 10}}{{x - 2}}). Đồ thị hàm số (fleft( x right)) có tiệm cận đứng không?