Giải bài 1.10 trang 10 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Một vật chuyển động dọc theo một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật (x) (mét) từ thời điểm (t = 0) giây đến thời điểm (t = 5) giây được cho bởi công thức (xleft( t right)={{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+11t+5). a) Xác định vận tốc (v) của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển động sang trái. b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ (t = 1) đến

Đề bài

Một vật chuyển động dọc theo một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật \(x\) (mét) từ thời điểm \(t = 0\) giây đến thời điểm \(t = 5\) giây được cho bởi công thức \(x\left( t \right)={{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+11t+5\).

a) Xác định vận tốc \(v\) của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển động sang trái.

b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng lại. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 1\) đến \(t = 4\) giây.

c) Xác định gia tốc \(a\) của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc và khoảng thời gian vật giảm tốc.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Vận tốc của vật là \(x'\left( t \right)\). Xác định hướng chuyển động của vật sau đó xét dấu vận tốc, cùng chiều dương thì vận tốc dương và ngược lại (chiều dương chuyển động là trái sang phải theo đề bài).

Ý b: Tốc độ của vật là \(\left| {v\left( t \right)} \right|\). Vật dừng lại khi tốc độ bằng \(0\), tìm t thỏa mãn điều kiện này. Tốc độ cực đại của vật từ \(t = 1\) giây đến \(t = 4\) giây là \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {1;4} \right]} \left| {v\left( t \right)} \right|\), tìm \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {1;4} \right]} \left| {v\left( t \right)} \right|\) bằng cách xét dấu \(\left| {v\left( t \right)} \right|\) trên \(\left[ {1;4} \right]\), vận dụng kiến thức về dấu của tam thức bậc hai và giá trị tuyệt đối.

Ý c: Tính gia tốc \(a = v'\left( t \right)\). Vật tăng tốc khi \(\) và giảm tốc khi \(a\left( t \right) < 0\). Với \(t \in \left[ {0;5} \right]\), xét dấu \(a\) để tìm được t theo yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Ta có \(x\left( t \right) = {t^3} - 7{t^2} + 11t + 5,t \in \left[ {0;5} \right]\).

a) Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) = 3{t^2} - 14t + 11,t \in \left[ {0;5} \right]\) (m/s).

Ta có \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 14t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) hoặc \(t = \frac{{11}}{3}\).

Theo đề bài, vật chuyển động với chiều dương từ trái sang phải tức là vật chuyển động sang phải khi \(v\left( t \right) > 0\) và chuyển động sang trái khi \(v\left( t \right) < 0\).

Ta xét dấu của \(v\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;5} \right]\):

Ta có \(v\left( t \right) > 0\) khi \(t \in \left( {0;1} \right)\) hoặc \(t \in \left( {\frac{{11}}{3};5} \right)\); \(v\left( t \right) < 0\) khi \(t \in \left( {1;\frac{{11}}{3}} \right)\).

Do đó vật chuyển động sang phải trong khoảng thời điểm từ \(0\) giây đến \(1\) giây và từ \(\frac{{11}}{3}\) giây đến \(5\) giây; vật chuyển động sang trái trong khoảng thời điểm từ \(1\) giây đến \(\frac{{11}}{3}\) giây.

b) Tốc độ của vật là \(\left| {v\left( t \right)} \right| = x'\left( t \right) = 3{t^2} - 14t + 11,t \in \left[ {0;5} \right].\)

Vật dừng lại khi tốc độ bằng \(0\). Ta có \(\left| {v\left( t \right)} \right| = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 14t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) hoặc \(t = \frac{{11}}{3}\).

Suy ra vật dừng lại tại thời điểm \(t = 1\) giây hoặc \(t = \frac{{11}}{3}\) giây.

Xét \(v\left( t \right) = 3{t^2} - 14t + 11,t \in \left[ {1;4} \right]\). Tốc độ cực đại của vật từ \(t = 1\) giây đến \(t = 4\) giây là \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {1;4} \right]} \left| {v\left( t \right)} \right|\).

Xét hàm số \(\left| {v\left( t \right)} \right| = \left| {3{t^2} - 14t + 11} \right|,t \in \left[ {1;4} \right]\)

Ở ý a ta đã xét dấu của \(v\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;5} \right]\) nên ta thu được dấu \(v\left( t \right)\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) như sau: \(v\left( t \right) > 0\) khi \(t \in \left( {\frac{{11}}{3};4} \right)\); \(v\left( t \right) < 0\) khi \(t \in \left( {1;\frac{{11}}{3}} \right)\).

Do đó ta có giá trị của hàm \(\left| {v\left( t \right)} \right|\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) là

+ \(\left| {v\left( t \right)} \right| = v\left( t \right) = 3{t^2} - 14t + 11,t \in \left( {\frac{{11}}{3};4} \right)\)

+ \(\left| {v\left( t \right)} \right| = - v\left( t \right) = - 3{t^2} + 14t - 11,t \in \left( {1;\frac{{11}}{3}} \right)\)

Lập bảng xét dấu \(\left| {v\left( t \right)} \right|\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) như sau

Từ bảng trên ta có \(\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {1;4} \right]} \left| {v\left( t \right)} \right| = \frac{{16}}{3}\).

Vậy tốc độ cực đại của vật từ \(t = 1\) giây đến \(t = 4\) giây là \(\frac{{16}}{3}\) m/s.

c) Gia tốc của vật là \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 14\). Khi đó \(a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 6t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{3}\)

Vật tăng tốc khi \(\) và giảm tốc khi \(a\left( t \right) < 0\). Với \(t \in \left[ {0;5} \right]\) ta có:

\(a\left( t \right) > 0\) khi \(t \in \left[ {\frac{7}{3};5} \right]\) và \(a\left( t \right) < 0\) khi \(t \in \left[ {0;\frac{7}{3}} \right]\).

Vậy vật tăng tốc trong khoảng thời gian từ \(\frac{7}{3}\) giây đến \(5\) giây và giảm tốc trong khoảng thời gian từ \(0\) giây đến \(\frac{7}{3}\) giây.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.9 trang 10 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một con lắc lò xo, gồm một vật nặng có khối lượng (1) kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ (A = 0,24) m và chu kì (T = 4) giây. Vị trí (x) (mét) của vật tại thời điểm (t) được cho bởi (xleft( t right) = Acos left( {omega t} right)), trong đó (omega = frac{{2pi }}{T}) là tần số góc và thời gian (t) tính bằng giây. a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm (t) và tại thời điểm (t = 0,5) giây. b) Tìm vận tốc (v) của vật tại thời đ
Giải bài 1.8 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Hàm chi phí và hàm doanh thu (đều tính bằng triệu đồng) của một loại sản phẩm lần lượt là (Cleft( x right) = 25,5x + 1000) và (Rleft( x right) = 75,5x), trong đó (x)là số đơn vị sản phẩm đó được sản xuất và bán ra. a) Tìm hàm lợi nhuận trung bình (bar Pleft( x right) = frac{{Rleft( x right) - Cleft( x right)}}{x}). b) Tìm lợi nhuận trung bình khi mức sản xuất (x) lần lượt là (100,{rm{ }}500) và (1{rm{ }}000) đơn vị sản phẩm. c) Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận
Giải bài 1.7 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác định hàm chi phí (Cleft( x right)) và hàm doanh thu (Rleft( x right)) (đều tính bằng trăm nghìn đồng) cho một loại đồ chơi như sau: (begin{array}{l}Cleft( x right) = 1,2x - 0,0001{x^2},0 le x le 6{rm{ }}000,Rleft( x right) = 3,6x - 0,0005{x^2},0 le x le 6{rm{ }}000,end{array}) Trong đó (x) là số lượng đồ chơi loại đó được sản xuất và bán ra. Xác định khoảng của (x) để hàm lợi nhuận (Pleft( x right) = Rleft( x right) - Cle
Giải bài 1.6 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Chứng minh rằng hàm số (fleft( x right) = sqrt[3]{{{x^2}}}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng có cực tiểu tại điểm (x = 0).
Giải bài 1.5 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm các giá trị của tham số (m) sao cho hàm số (y = {x^3} + m{x^2} + 3x + 2) đồng biến trên (mathbb{R}).
Giải bài 1.4 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^4} - 2{x^2} + 3); b) (y = {x^2}ln x).
Giải bài 1.3 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = x + frac{1}{x}); b) (y = frac{x}{{{x^2} + 1}}).
Giải bài 1.2 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 9{x^2} - 48x + 52); b) (y = - {x^3} + 6{x^2} + 9).
Giải bài 1.1 trang 8 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và đạo hàm \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Sử dụng đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\), hãy cho biết: a) Các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right)\); b) Hàm số \(f\left( x \right)\) có cực đại, cực tiểu không? Nếu có, hãy cho biết các điểm cực trị tương ứng.