Đề thi vào 10 môn Toán Tây Ninh năm 2025

Đề bài

Câu 1: (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức \(S = \sqrt 4  - \sqrt {{3^2}}  + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\).

b) Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\).

Câu 3: (2,5 điểm)  Số lượt học sinh đi học trễ của các lớp trong một tuần được khảo sát tại một trường trung học cơ sở cho trong bảng sau:

a) (1,0 điểm) Hãy lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên.

b) (0,5 điểm) Chọn ngẫu nhiên một lớp. Tính xác suất của biến cố A: “Chọn được lớp không có học sinh đi trễ”.

Câu 4: (1,5 điểm) Tính thể tích, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình trụ biết bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 15 cm.

Câu 5: (1,5 điểm) Biết phương trình \({x^2} - 3mx - 1 = 0(m \in \mathbb{R})\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = x_1^2 + x_2^2 + 3m\left( {x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2} \right) - 7\).

Câu 6: (1 điểm) Trước khi sắp xếp, tỉnh Tây Ninh có tất cả 94 đơn vị hành chính cấp xã (gọi tắt là đơn vị). Theo Cổng thông tin điện tử tỉnh Tây Ninh (tayninh.gov.vn) thì sau khi sắp xếp, tỉnh Tây Ninh dự kiến có 36 đơn vị, trong đó có 2 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 5 đơn vị cũ và có 4 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 4 đơn vị cũ. Hỏi có bao nhiêu đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 2 đơn vị cũ và có bao nhiêu đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 3 đơn vị cũ? Biết rằng không còn trường hợp sáp nhập nào khác.

Câu 7: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại \(A(AB < AC)\). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh BC tại F. Chứng minh A, E, F, D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 8: (1 điểm) Bên trong một biển quảng cáo hình tròn tâm \(O\) đường kính 70cm, người thợ vẽ hai đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) có cùng bán kính, tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc trong với đường tròn \(\left( O \right)\) để trang trí (tham khảo hình vẽ). Tính (theo \(c{m^2}\)) diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn \(\left( O \right)\) mà không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) (phần không tô đen), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

----HẾT----

Lời giải

Câu 1: (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức \(S = \sqrt 4  - \sqrt {{3^2}}  + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2}\).

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|;{\left( {\sqrt A } \right)^2} = \sqrt {{A^2}} \) để tính căn bậc hai.

Lời giải:

\(S = \sqrt 4  - \sqrt {{3^2}}  + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 2 - 3 + 7 = 6\).

Câu 2: (2,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\).

b) Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\).

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị.

Xác định các điểm thuộc đồ thị.

Vẽ đồ thị hàm số đi qua các điểm trên.

b) Sử dụng \(a + b + c = 0\) để tìm nghiệm của phương trình.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

\(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 1;1} \right);C\left( {1;1} \right);\,\,D\left( {2;4} \right)\)

Hệ số \(a = 1 > 0\)nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) như sau:

b) Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = 2.\)

Câu 3: (2,5 điểm)  Số lượt học sinh đi học trễ của các lớp trong một tuần được khảo sát tại một trường trung học cơ sở cho trong bảng sau:

a) (1,0 điểm) Hãy lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên.

b) (0,5 điểm) Chọn ngẫu nhiên một lớp. Tính xác suất của biến cố A: “Chọn được lớp không có học sinh đi trễ”.

Phương pháp:

a) Tính tần số tương đối của các giá trị rồi lập bảng tần số tương đối.

b) Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Xác suất của biến cố bằng số kết quả thuận lợi / số kết quả có thể.

Lời giải:

a) Tổng số lớp là: \(n = 5 + 4 + 5 + 3 + 2 + 1 = 20\)

Số lượt đi học trễ là \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = 2;{x_4} = 3;{x_5} = 4;{x_6} = 5\)

tương ứng với \({m_1} = 5;{m_2} = 4;{m_3} = 5;{m_4} = 3;{m_5} = 2;{m_6} = 1\).

Do đó các tần số tương đối cho các giá trị \({x_1};{x_2};{x_3};{x_4};{x_5};{x_6}\) lần lượt là:

\({f_1} = \frac{5}{{20}}.100\%  = 25\% \); \({f_2} = \frac{4}{{20}}.100\%  = 20\% \); \({f_3} = \frac{5}{{20}}.100\%  = 25\% \);

\({f_4} = \frac{3}{{20}}.100\%  = 15\% \); \({f_5} = \frac{2}{{20}}.100\%  = 10\% \); \({f_6} = \frac{1}{{20}}.100\%  = 5\% \).

Ta có bảng tần số tương đối sau:

b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Chọn được lớp không có học sinh đi trễ” là: \(5\).

Xác suất của biến cố A: “Chọn được lớp không có học sinh đi trễ” là: \(\frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}\).

Vậy xác suất của biến cố A: “Chọn được lớp không có học sinh đi trễ” là \(\frac{1}{4}\).

Câu 4: (1,5 điểm) Tính thể tích, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình trụ biết bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 15 cm.

Phương pháp:

Công thức tính:

+ Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h\)

+ Diện tích xung quanh hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh\)

+ Diện tích toàn phần hình trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r(h + r)\)

Lời giải:

Ta có:

Bán kính đáy \(r = 5cm\)

Chiều cao \(h = 15cm\)

Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h = \pi  \cdot {5^2} \cdot 15 = \pi  \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi {\mkern 1mu} (c{m^3})\)

Diện tích xung quanh hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi  \cdot 5 \cdot 15 = 150\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\)

Diện tích toàn phần hình trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r(h + r)\)

\({S_{tp}} = 2\pi  \cdot 5 \cdot (15 + 5) = 2\pi  \cdot 5 \cdot 20 = 200\pi {\mkern 1mu} (c{m^2})\)

Câu 5: (1,5 điểm) Biết phương trình \({x^2} - 3mx - 1 = 0(m \in \mathbb{R})\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(T = x_1^2 + x_2^2 + 3m\left( {x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2} \right) - 7\).

Phương pháp:

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Áp dụng định lí Viète.

Biến đổi biểu thức T để tính giá trị của T theo định lí Viète.

Lời giải:

Ta có phương trình \({x^2} - 3mx - 1 = 0\) có: \(\Delta  = {\left( { - 3m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 9{m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 3m\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\)

Biểu thức \(T = x_1^2 + x_2^2 + 3m\left( {x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2} \right) - 7\)

\(T = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} + 3m{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 7\)

\(T = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 3m{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 7\)

Thay \(\left( I \right)\) vào biểu thức \(T\) ta có:

\(T = {\left( {3m} \right)^2} - 2\left( { - 1} \right) + 3m\left( { - 1} \right)3m - 7\)

\(T = 9{m^2} + 2 +  - 9{m^2} - 7 =  - 5\)

Vậy \(T =  - 5\).

Câu 6: (1 điểm) Trước khi sắp xếp, tỉnh Tây Ninh có tất cả 94 đơn vị hành chính cấp xã (gọi tắt là đơn vị). Theo Cổng thông tin điện tử tỉnh Tây Ninh (tayninh.gov.vn) thì sau khi sắp xếp, tỉnh Tây Ninh dự kiến có 36 đơn vị, trong đó có 2 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 5 đơn vị cũ và có 4 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 4 đơn vị cũ. Hỏi có bao nhiêu đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 2 đơn vị cũ và có bao nhiêu đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 3 đơn vị cũ? Biết rằng không còn trường hợp sáp nhập nào khác.

Phương pháp:

Ta gọi:

\(x\) là số đơn vị mới được sáp nhập từ 2 đơn vị cũ

\(y\) là số đơn vị mới được sát nhập từ 3 đơn vị cũ

(\(x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,y < 36\))

Dựa vào đề bài, lập hai phương trình thoả mãn:

+ Sau sát nhập còn 36 đơn vị, trong đó có: 2 đơn vị (từ 10 đơn vị cũ), 4 đơn vị (từ 16 đơn vị cũ)

+ Tổng số đơn vị cũ là 94, trong đó: 10 đơn vị cũ thuộc nhóm sát nhập 5, 16 đơn vị cũ thuộc nhóm sát nhập 4.

Lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình để tìm \(x\) và \(y\).

Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Ta gọi:

\(x\) là số đơn vị mới được sáp nhập từ 2 đơn vị cũ

\(y\) là số đơn vị mới được sát nhập từ 3 đơn vị cũ

(\(x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,y < 36\))

Theo đề bài ta thấy

có 2 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 5 đơn vị cũ , suy ra số đơn vị cũ là \(2 \times 5 = 10\)

có 4 đơn vị mới mà mỗi đơn vị được sáp nhập từ 4 đơn vị cũ, suy ra số đơn vị cũ là \(4 \times 4 = 16\)

Sau sát nhập còn 36 đơn vị, trong đó có: 2 đơn vị (từ 10 đơn vị cũ), 4 đơn vị (từ 16 đơn vị cũ)

Nên còn lại \(36 - 2 - 4 = 30\) đơn vị là từ các nhóm 2 và 3 đơn vị cũ, tức là \(x + y = 30\)

Tổng số đơn vị cũ là 94, trong đó: 10 đơn vị cũ thuộc nhóm sát nhập 5, 16 đơn vị cũ thuộc nhóm sát nhập 4. Suy ra còn lại \(94 - 10 - 16 = 68\) đơn vị cũ thuộc nhóm 2 và 3, tức là \(2x + 3y = 68\)

Khi đó ta giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 30\\2x + 3y = 68\end{array} \right.\)

\(x = 30 - y\) thay vào \(2x + 3y = 68\)

\(2.\left( {30 - y} \right) + 3y = 68\)

\(60 - 2y + 3y = 68\)

\(y = 8\,\,(tm),x = 30 - 8 = 22(tm)\)

Vậy có 22 đơn vị mới được sáp nhập từ 2 đơn vị cũ

Có 8 đơn vị mới được sáp nhập từ 3 đơn vị cũ

Câu 7: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại \(A(AB < AC)\). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh BC tại F. Chứng minh A, E, F, D cùng thuộc một đường tròn.

Phương pháp:

Chứng minh \(\angle ABC = \angle EFB\); \(\angle ACB = \angle DFC\)

suy ra \(\angle DFE = 90^\circ \)

Chứng minh \(\Delta DEF\) vuông tại F, \(\Delta ADE\) vuông tại A nên A, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính DE.

Lời giải:

Do \(F \in \left( D \right)\) nên \(\angle CFA = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AF \bot BC\). Khi đó \(\Delta AFB\) vuông tại F có trung tuyến EF nên \(FE = EB = \frac{1}{2}AB\) (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Suy ra \(\Delta EFB\) cân tại E nên \(\angle ABC = \angle EFB\)

Ta có \(DC = DF\). Khi đó \(\Delta DCF\) cận tại D nên \(\angle ACB = \angle DFC\)

Suy ra:

\(\angle DFE = 180^\circ  - \left( {\angle DFC + \angle EFB} \right) = 180^\circ  - \left( {\angle ACB + \angle ABC} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Vậy \(\Delta DEF\) vuông tại F nên D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính DE

Mà \(\Delta ADE\) vuông tại A nên A, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính DE

Nên A, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính DE.

Câu 8: (1 điểm) Bên trong một biển quảng cáo hình tròn tâm \(O\) đường kính 70cm, người thợ vẽ hai đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) có cùng bán kính, tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc trong với đường tròn \(\left( O \right)\) để trang trí (tham khảo hình vẽ). Tính (theo \(c{m^2}\)) diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn \(\left( O \right)\) mà không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) (phần không tô đen), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Phương pháp:

Gọi bán kính đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là \(r\,\,\left( {cm;0 < r < 35} \right)\)

Ta có \({O_1}{O_2} \le O{O_1} + O{O_2}\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra \(2r \le R - r + R - r\) hay \(r \le \frac{{35}}{2}\)

Tổng diện tích của hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là \({S_1} = 2\pi {r^2}\)

Diện tích phần không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là: \(S = \pi {R^2} - 2\pi {r^2}\)

Vì \(r \le \frac{{35}}{2}\) nên ta thay vào \(S = \pi {R^2} - 2\pi {r^2}\) suy ra bất phương trình.

Ta tìm được diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn (O) mà không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\).

Lời giải:

Gọi bán kính đường tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là \(r\,\,\left( {cm;0 < r < 35} \right)\)

Bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\) là \(R = 35cm\)

Ta có \({O_1}{O_2} \le O{O_1} + O{O_2}\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra \(2r \le R - r + R - r\) hay \(2r \le R\) suy ra \(r \le \frac{{35}}{2}\)

Tổng diện tích của hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là \({S_1} = 2\pi {r^2}\)

Diện tích phần không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là:

\(S = \pi {R^2} - 2\pi {r^2} = {35^2}\pi  - 2\pi {r^2} = 1225\pi  - 2\pi {r^2}\)

Vì \(r \le \frac{{35}}{2}\) nên \(S \ge 1225\pi  - 2\pi .{\left( {\frac{{35}}{2}} \right)^2} \approx 1924\left( {c{m^2}} \right)\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(r = \frac{{35}}{2}\) (tm)

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần thuộc hình tròn (O) mà không thuộc hai hình tròn \(\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\) là \(1924\,c{m^2}\).