Đề thi vào 10 môn Toán Lai Châu năm 2025

Đề bài

Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(2x - 20 = 0\).

b) \({x^2} - 6x + 5 = 0\).

c) \(3x - 15 < 0\).

Câu 2: (1,5 điểm)

2.1. Tính \(\sqrt {36}  - \sqrt {25}  + \sqrt 9 \).

2.2. Cho biểu thức \(B = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  - 2}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 4\) ).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 9\).

Câu 3: (2 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}\).

b) Biểu đồ cột sau đây biểu diễn số lượng vé bán được với các mức giá khác nhau của một buổi hoà nhạc. Tổng số tiền bán vé thu được là bao nhiêu?

c) Một hộp có 10 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5”.

Câu 4: (1 điểm) Một người đi xe máy từ Than Uyên đến Tam Đường. Khi đi được quãng đường 40 km đến Tân Uyên người đó dừng lại nghỉ 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến Tam Đường với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là \(5\;km/h\). Tính vận tốc của người đi xe máy khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên, biết tổng thời gian đi từ Than Uyên đến Tam Đường là 2 giờ.

Câu 5: (3 điểm)

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = 10 cm, \(\angle ABC = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh BC (biết \(\tan 60^\circ  = \sqrt 3 \), \(\sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(\cos 60^\circ  = \frac{1}{2}\))

5.2. Cho tam giáo ABC nhọn, có đường cao AH. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ \(HD \bot AB\) và \(HE \bot AC(D \in AB,E \in AC)\).

a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số do \(\angle EDB\), biết \(\angle ACB = 40^\circ \).

c) Đường thẳng đi qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh \(DM \bot AE\).

Câu 6: (0,5 điểm) Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30-4. Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(2x - 20 = 0\).

b) \({x^2} - 6x + 5 = 0\).

c) \(3x - 15 < 0\).

Lời giải

a) \(2x - 20 = 0\)

\(2x = 20\)

\(x = 10\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 10\)

b) \({x^2} - 6x + 5 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 1 + ( - 6) + 5 = 0\) nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = 5\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1\) và \(x = 5\)

c) \(3x - 15 < 0\)

\(3x < 15\)

\(x < 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 5\)

Câu 2: (1,5 điểm)

2.1. Tính \(\sqrt {36}  - \sqrt {25}  + \sqrt 9 \).

2.2. Cho biểu thức \(B = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  - 2}}\) (với \(x \ge 0,x \ne 4\) ).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 9\).

Lời giải

2.1. \(\sqrt {36}  - \sqrt {25}  + \sqrt 9  = 6 - 5 + 3 = 4.\)

2.2.

a) ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 4\)

\(B = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{3}{{\sqrt x  - 2}}\)

\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 3\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  - 4 + 3\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{5\sqrt x  + 2}}{{x - 4}}\)

Vậy \(B = \frac{{5\sqrt x  + 2}}{{x - 4}},\)với \(x \ge 0,x \ne 4\)

b) Thay \(x = 9\) (tmđk) vào biểu thức B, ta được: \(B = \frac{{5\sqrt 9  + 2}}{{9 - 4}} = \frac{{5.3 + 2}}{5} = \frac{{17}}{5}.\)

Vậy \(B = \frac{{17}}{5}\) khi \(x = 9.\)

Câu 3: (2 điểm)

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}\).

b) Biểu đồ cột sau đây biểu diễn số lượng vé bán được với các mức giá khác nhau của một buổi hoà nhạc. Tổng số tiền bán vé thu được là bao nhiêu?

c) Một hộp có 10 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5”.

Lời giải

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

\(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;8} \right);\,\,B\left( { - 1;2} \right);C\left( {1;2} \right);\,\,D\left( {2;8} \right)\)

Hệ số \(a = 2 > 0\) nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) như sau:

b) Tổng số tiền bán vé thu được là:\(100.750 + 150.450 + 200.350 + 500.150 + 1000.100 = 387\,500\) (nghìn đồng)

c) Có 10 kết quả có thể khi rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp, đó là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5”, đó là: 1; 2; 3; 4.

Xác suất của biến cố A “số xuất hiện ghi trên thẻ được rút ra nhỏ hơn 5” là: \(\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).

Câu 4: (1 điểm) Một người đi xe máy từ Than Uyên đến Tam Đường. Khi đi được quãng đường 40 km đến Tân Uyên người đó dừng lại nghỉ 20 phút rồi đi tiếp 30 km nữa để đến Tam Đường với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là \(5\;km/h\). Tính vận tốc của người đi xe máy khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên, biết tổng thời gian đi từ Than Uyên đến Tam Đường là 2 giờ.

Lời giải

Gọi vận tốc của người đi xe máy là \(v\) \((km/h)\), \(v > 0.\)

Người đó đi quãng đường 40km trong khoảng thời gian: \({t_1} = \frac{{40}}{v}\) (giờ).

Thời gian nghỉ: \(20\) phút = \(\frac{{20}}{{60}} = \frac{1}{3}\) giờ.

Quãng đường tiếp theo 30 km với vận tốc lớn hơn 5km, tức là \(v + 5\) \((km/h)\).

Thời gian người đó đi quãng 30 km là \({t_2} = \frac{{30}}{{v + 5}}\) (giờ).

Tổng thời gian đi từ Than Uyên đến Tam Đường là 2 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{40}}{v} + \frac{1}{3} + \frac{{30}}{{v + 5}} = 2\)

\(\frac{{40}}{v} + \frac{{30}}{{v + 5}} = 2 - \frac{1}{3}\)

\(\frac{{40}}{v} + \frac{{30}}{{v + 5}} = \frac{5}{3}\)

\(\frac{{120\left( {v + 5} \right) + 90v}}{{3v\left( {v + 5} \right)}} = \frac{{5v\left( {v + 5} \right)}}{{3v\left( {v + 5} \right)}}\)

\(120v + 600 + 90v - 5{v^2} - 25v = 0\)

\( - 5{v^2} + 185v + 600 = 0\)

Giải phương trình bậc hai \( - 5{v^2} + 185v + 600 = 0\), ta được \(v = 40{\rm{ (tm)}}\); \(v =  - 3{\rm{ (L)}}\)

Vậy vận tốc của người đi xe máy khi đi từ Than Uyên đến Tân Uyên là \(40km/h.\)

Câu 5: (3 điểm)

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = 10 cm, \(\angle ABC = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh BC (biết \(\tan 60^\circ  = \sqrt 3 \), \(\sin 60^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(\cos 60^\circ  = \frac{1}{2}\))

5.2. Cho tam giáo ABC nhọn, có đường cao AH. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ \(HD \bot AB\) và \(HE \bot AC(D \in AB,E \in AC)\).

a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số do \(\angle EDB\), biết \(\angle ACB = 40^\circ \).

c) Đường thẳng đi qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh \(DM \bot AE\).

Lời giải

5.1.

Ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{AB}}{{\cos B}}\)

Độ dài cạnh BC là: \(BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{{10}}{{\cos 60^\circ }} = 10:\frac{1}{2} = 20\) (cm)

Vậy độ dài cạnh BC là 20 cm.

5.2.

a)

Do \(HD \bot AB\) nên \(\Delta AHD\) vuông tại D nên A, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tương tự \(\Delta AEH\) vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay ADHE là tứ giác nội tiếp

b) Do ADHE là tứ giác nội tiếp nên \(\angle EDH = \angle EAH\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HE)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H nên \(\angle EAH = {180^0} - \angle AHC - \angle HCA = {180^0} - {90^0} - {40^0} = {50^0}\)

Suy ra \(\angle EDH = {50^0}\) suy ra \(\angle EDB = \angle EDH + \angle HDB = {50^0} + {90^0} = {140^0}\)

c) Gọi N là giao điểm của AO và DE, K là giao điểm của EM và AB, kẻ đường kính AF.

Khi đó \(\angle ABF = \angle ACF = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có \(\angle AFC = \angle ABC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra \(\angle CAF = {90^0} - \angle AFC = {90^0} - \angle ABC = \angle BAH\) (do \(\Delta AHB\) vuông tại H)

Mà \(\angle BAH = \angle DEH\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DH)

Suy ra \(\angle CAF = \angle DEH\)

Lại có \(\angle DEH + \angle DEA = \angle HEA = {90^0}\) nên \(\angle CAF + \angle DEA = {90^0}\)

Suy ra \(\Delta ANE\) vuông tại N hay \(AN \bot DE\)

Xét \(\Delta ADE\) có:

\(EK \bot AD,AN \bot DE\) và EK, AN cắt nhau tại M nên M là trực tâm của  \(\Delta ADE\)

Suy ra \(DM \bot AE\) (tính chất đồng quy của ba đường cao) (đpcm)

Câu 6: (0,5 điểm) Công ty dự định nếu giá tour là 2 triệu đồng thì sẽ có 200 người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá 100 nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất?

Lời giải

Gọi số lần giảm giá là \(x\) (lần), \(x > 0\), mỗi lần giảm 100 nghìn đồng = 0,1 triệu đồng so với giá gốc là 2 triệu đồng.

Giá tour sau khi giảm là \(2 - 0,1x\) (triệu đồng).

Sau khi giảm giá \(x\) lần, số người tham gia là \(200 + 20x\) (người).

Khi đó, doanh thu của công ty là:

\(\left( {2 - 0,1x} \right).\left( {200 + 20x} \right) =  - 2{x^2} + 20x + 400\) (triệu đồng)

Ta có:

\( - 2{x^2} + 20x + 400 =  - 2\left( {{x^2} - 10x - 200} \right) = 450 - 2\left( {{x^2} - 10x + 25} \right) = 450 - 2{\left( {x - 5} \right)^2}\)

Do \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0\) nên \(450 - 2{\left( {x - 5} \right)^2} \le 450\)

Suy ra  \( - 2{x^2} + 20x + 400\) đạt GTLN bằng 450 khi \(x = 5\)

Vậy doanh thu lớn nhất bằng 450 triệu đồng khi đó số tiền sau khi giảm 5 lần là \(2 - 0,1.5 = 1,5\) (triệu đồng)

Vậy công ty phải giảm giá tour còn 1,5 triệu đồng để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất.