50 bài tập Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số - Phương pháp giản đồ Frenen mức độ vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục ox có phương trình lần lượt là x1 = A1 cos(ω.t+φ1) và x2 = A2 cos(ω.t+φ2). Giả sử x = x1 + x2 và y = x1 - x2. Biết rằng biên độ dao động của x gấp năm lần biên độ dao động của y. Độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2 gần với giá trị nào nhất sau đây?

  • A 53,140.
  • B 126,870.
  • C 22,620.    
  • D 143,140.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính biên độ của dao động tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số

- Sử dụng bất đẳng thức Cô - si.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& A_x^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \cr
& A_y^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \cr
& {A_x} = 5{A_y} \Leftrightarrow 12{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = 4A_1^2 + 4A_2^2 \cr
& \Rightarrow \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = {{4A_1^2 + 4A_2^2} \over {12{A_1}{A_2}}} \ge {{2\sqrt {4A_1^2.4A_2^2} } \over {12{A_1}{A_2}}} = {2 \over 3} \Rightarrow \Delta \varphi \le {48,18^0} \cr} \)

Vậy độ lệch pha cực đại của hai dao động là 48,180

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Hai chất điểm dao động  trên hai phương  song song với nhau và cùng  vuông góc với trục Ox nằm ngang. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên Ox và cách nhau 15 cm, phương trình dao động của chúng lần lượt là: y1 = 8cos(7πt – π/12); y2 = 6cos(7πt + π/4) cm. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm gần giá trị nào nhất sau đây:

  • A 20cm     
  • B 15cm 
  • C 17cm   
  • D 18 cm

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương thẳng đứng:

\(d = \left| {{y_1} - {y_2}} \right| = \sqrt {52} \left| {\cos \left( {7\pi t + \varphi } \right)} \right|cm \Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt {52} cm\) 

+ Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là:\(\sqrt {{O_1}{O_2}^2 + d_{\max }^2}  = \sqrt {52 + {{15}^2}}  = 16,64cm\)

 

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là \({{x}_{1}}=10\cos \left( 2\pi t+\varphi  \right)\,\,cm\) và \({{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,cm\) thì dao động tổng hợp là \(x=A\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\,\,cm\). Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A2 có giá trị là

  • A \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\,\,cm\)
  • B \(10\sqrt 3 \,\,cm\)
  • C \(\frac{{10}}{{\sqrt 3 }}\,\,cm\)
  • D \(20\,\,cm\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Giản đồ Fres-nen

- Định lí hàm số sin trong tam giác

Lời giải chi tiết:

- Từ dữ kiện đề bài \({A_1} = 10cm;{\varphi _{x1}} = \varphi ;{\varphi _{x2}} =  - \frac{\pi }{2};{\varphi _x} =  - \frac{\pi }{3}\) ta vẽ được giản đồ vecto :

 

- Xét ∆OA2A ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{A_2}A = {A_1} = 10cm\\\widehat {{A_2}OA} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\\\widehat {OA{A_2}} = \widehat {{A_1}OA} = {60^0} + \varphi \,\,\,\left( {O{A_1}//{A_2}A} \right)\\\widehat {O{A_2}A} = {180^0} - \widehat {{A_2}OA} - \widehat {OA{A_2}} = {180^0} - {30^0} - {60^0} - \varphi  = {90^0} - \varphi \end{array} \right.\)

- Sử dụng định lí hàm số sin trong ∆OA2A ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{A_2}A}}{{\sin \widehat {{A_2}OA}}} = \frac{{O{A_2}}}{{\sin \widehat {OA{A_2}}}} = \frac{{OA}}{{\sin \widehat {O{A_2}A}}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sin 30}} = \frac{{{A_2}}}{{\sin \left( {60 + \varphi } \right)}} = \frac{A}{{\sin \left( {90 - \varphi } \right)}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = \frac{{10.\sin \left( {90 - \varphi } \right)}}{{\sin 30}}\\{A_2} = \frac{{10.\sin \left( {60 + \varphi } \right)}}{{\sin 30}}\end{array} \right.\end{array}\)

- Năng lượng dao động cực đại khi \({A_{\max }} \Leftrightarrow \sin \left( {90 - \varphi } \right) = 1 \Leftrightarrow 90 - \varphi  = 90 \Rightarrow \varphi  = 0 \Rightarrow {A_2} = \frac{{10.\sin \left( {60 + 0} \right)}}{{\sin 30}} = 10\sqrt 3 cm\)

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

. Trên mặt phẳng nằm ngang có hai con lắc lò xo. Các lò  xo  có cùng độ cứng k, cùng chiều dài tự nhiên là 32 cm. Các vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m. Ban đầu, A và B được giữ   ở vị trí sao cho lò xo gắn với A bị dãn 8 cm còn lò xo gắn với B bị nén 8 cm. Đồng thời thả nhẹ để hai  vật dao động điều hòa trên cùng một đường thẳng đi qua giá I cố định (hình vẽ). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị lần lượt là

 

 

  • A 64 cm và 48 cm.
  • B 80 cm và 48 cm.    
  • C 64 cm và 55 cm.  
  • D 80 cm và 55 cm

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Đáp án D

Phương pháp:

-          Sử dụng lí thuyết về khoảng cách của hai vật dao động điều hoà

-          Khảo sát hàm số bậc hai

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Hai con lắc lò xo đặt trên mặt nẳm ngang không ma sát, hai đầu gắn hai vật nặng khối lượng m1 = m2, hai đầu lò xo còn lại gắn cố định vào hai tường thẳng đứng đối diện sao cho trục chính của chúng trùng nhau. Độ cứng tương ứng của mỗi lò xo lần lượt là k1 = 100 N/m, k2 = 400 N/m. Vật m1 đặt bên trái, m2 đặt bên phải. Kéo m1 về bên trái và m2 về bên phải rồi buông nhẹ hai vật cùng thời điểm cho chúng dao động điều hòa cùng cơ năng 0,125 J. Khi hai vật ở vị trí cân bằng chúng cách nhau 10 cm. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là

  • A 3,32 cm.
  • B 6,25 cm.
  • C  9,8 cm.
  • D 2,5 cm.

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

  • A 0,25 J. 
  • B 0,1 J.   
  • C 0,50 J . 
  • D 0,15 J.

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

  • A \sqrt{21} cm
  • B 2 \sqrt{15} cm
  • C \sqrt{15} cm
  • D 2 \sqrt{21} cm

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Hai con lắc lò xo đặt trên mặt nẳm ngang không ma sát, hai đầu gắn hai vật nặng khối lượng m1 = m2 , hai đầu lò xo còn lại gắn cố định vào hai tường thẳng đứng đối diện sao cho trục chính của chúng trùng nhau. Độ cứng tương ứng của mỗi lò xo lần lượt là k1 = 100 N/m, k2 = 400 N/m. Vật m1 đặt bên trái, m2 đặt bên phải. Kéo m1 về bên trái và m2 về bên phải rồi buông nhẹ hai vật cùng thời điểm cho chúng dao động điều hòa cùng cơ năng 0,125 J. Khi hai vật ở vị trí cân bằng chúng cách nhau một khoảng L. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là 6,25 cm. Khoảng cách L là

 

  • A 2,5 cm.  
  • B 10 cm.      
  • C 20 cm.   
  • D 5 cm.

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với trục Ox có phương trình  và . Biết rằng giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của hai chất điểm bằng hai lần khoảng cách cực đại của hai chất điểm theo phương Ox và độ lệch pha của dao động thứ nhất so với dao động thứ hai nhỏ hơn 900. Độ lệch pha cực đại giữa dao động thứ nhất và dao động thứ hai nhận   giá trị là

  • A 53,130.  
  • B 50,300.   
  • C 60,50
  • D 450.

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Hai chất điểm M,N dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với trục Ox. Trong quá trình dao động, hình chiếu của M và N trên Ox cách xa nhau nhất là \(\sqrt 2 cm\). Biên độ dao động tổng hợp của M và N là 2 cm. Gọi AM, AN lần lượt là biên độ của M và N. Giá trị lớn nhất của ( AM+ AN) gần với giá trị nào nhất sau đây?

  • A 4 cm. 
  • B 2 cm. 
  • C  3 cm.   
  • D 5 cm.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết về tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số kết hợp với bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để đánh giá

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình dao động của M và N lần lượt là \({x_M} = {A_M}\cos (\omega t + {\varphi _M})\) và \({x_N} = {A_N}\cos (\omega t + {\varphi _N})\)

Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên là: \(A = \sqrt {A_M^2 + A_N^2 + 2{A_M}{A_N}\cos ({\varphi _M} - {\varphi _N})} \)

Khoảng cách lớn nhất của M và N trên phương Ox là: \({d_{\max }} = \sqrt {A_M^2 + A_N^2 - 2{A_M}{A_N}\cos ({\varphi _M} - {\varphi _N})} \)

Theo đề bài ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A_M^2 + A_N^2 + 2{A_M}{A_N}\cos ({\varphi _M} - {\varphi _N}) = {A^2} = 4\\A_M^2 + A_N^2 - 2{A_M}{A_N}\cos ({\varphi _M} - {\varphi _N}) = d_{\max }^2 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A_M^2 + A_N^2 = 3\)

Thấy rằng: \({A_M} + {A_N} = 1.{A_M} + 1.{A_N} \le ({1^2} + {1^2})(A_M^2 + A_N^2) = 2.3 = 6\) => (AM + AN)max = 6 cm=> Chọn D

 

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trên mặt phẳng nằm ngang có hai con lắc lò xo. Các lò co có cùng độ cứng k, cùng chiều dài tự nhiên 32cm. Các vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m. Ban đầu, A và B được giữ ở vị trí sao cho lò xo gắn với A bị dãn 8cm còn lò xo gắn với B bị nén 8cm. Đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoa trên cùng một đường thẳng đi qua giá I cố định (hình vẽ). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai vật có giá trị lần lượt là

  • A 64 cm và 48 cm.                   
  • B  80 cm và 48 cm

     

  • C 80 cm và 55 cm                
  • D 64 cm và 55 cm

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng hợp hai dao động

Lời giải chi tiết:

Ta có tần số góc của con lắc A và con lắc B là:

\(\begin{array}{l}
\omega {}_A = \sqrt {\frac{k}{m}} ;{\omega _B} = \sqrt {\frac{k}{{4m}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{k}{m}} = \frac{{{\omega _A}}}{2}\\
= > {\omega _A} = 2{\omega _B}
\end{array}\)

Chọn trục tọa độ Ox trùng với trục của hai lò xo, gốc tọa độ O ở vị trí cân bằng của con lắc A, chiều dương là chiều từ A đến B. Ta viết phương trình dao động của hai con lắc và tìm khoảng cách giữa hai con lắc: 

\(\begin{array}{l}
{x_A} = 8\cos \left( {{\omega _A}t + \pi } \right) = - 8\cos ({\omega _A}t) = - 8\cos \left( {2{\omega _B}t} \right)\\
{x_B} = 64 + 8.\cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right)\\
\Delta d = {x_B} - {x_A} = 64 + 8.\cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right) + 8\cos \left( {2{\omega _B}t} \right)\\
\Leftrightarrow \Delta d = 64 + 8.\left( {2{{\cos }^2}\left( {{\omega _B}t} \right) - 1} \right) - 8\cos \left( {{\omega _B}t} \right)\\
\Leftrightarrow \Delta d = 64 + 8.(2{\cos ^2}\left( {{\omega _B}t} \right) - \cos \left( {{\omega _B}t} \right) - 1)\\
\Leftrightarrow \Delta d = 64 + 8.\left[ {\left( {\sqrt 2 \cos \left( {{\omega _B}t} \right) - 2.\sqrt 2 \cos \left( {{\omega _B}t} \right).\frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{8}} \right) - \frac{9}{8}} \right]\\
\Leftrightarrow \Delta d = 64 + 8.{\left( {\sqrt 2 \cos \left( {{\omega _B}t} \right) - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} - 9\\
*{\left( {\sqrt 2 \cos \left( {{\omega _B}t} \right) - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \Delta {d_{\min }} = 64 + 0 - 9 = 55cm\\
* - 1 \le \cos \left( {{\omega _B}t} \right) \le 1 \Rightarrow \Delta {d_{\max }} = 64 + 8.(2.{( - 1)^2} - ( - 1) - 1) = 64 + 8.2 = 80cm
\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau, dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox, VTCB của vật cùng tọa độ 0. Biên độ của con lắc 1 là A1=3cm, của con lắc 2 là A2=6cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vật theo phương Ox là a=3\dpi{100} \small \sqrt{3} (cm). Khi động năng cua con lắc 1 là cực đại bằng W thì động năng của con lắc 2 là

  • A 2w/3   
  • B w/2  
  • C w  
  • D 2w

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho D1, D2 và D3 là ba đao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dao động tổng hợp của D1 và D2 có phương trình x12 = 3\sqrt3 cos(ωt + π/2) (cm). Dao động tổng hợp của D2 và D3 có phương trình x23 = 3cosωt (cm). Dao động D1 ngược pha với dao động D3. Biên độ của dao động D2 có giá trị nhỏ nhất là

  • A 2,6 cm.
  • B 2,7 cm
  • C 3,6 cm
  • D 3,7 cm.

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = 2Acos(ωt + φ1) cm và x2 = 3Acos(ωt + φ2) cm. Tại một thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 1 và -2 thì li độ của dao động tổng hợp là  . Giá trị của A là

 

  • A  2,25 cm.                            
  • B 6 cm.                                  
  • C 3 cm.                                
  • D \(\sqrt {15} cm\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức tính li độ dao động tổng hợp, công thức độc lập thời gian giữa li độ và vận tốc

Gọi x là li độ của dao động tổng hợp tại hai thời điểm t

Tại thời điểm t ta có  \(x = {x_1} + {x_2} = \sqrt {15} ;{{{x_2}} \over {{x_1}}} =  - 2 \Rightarrow {x_1} =  - \sqrt {15} ;{x_2} = 2\sqrt {15} \)

Mà  \(\left| {{{{v_2}} \over {{v_1}}}} \right| = \sqrt {{{9{A^2} - x_2^2} \over {4{A^2} - x_1^2}}}  = 1 \Rightarrow A = 3cm\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Dao động của một vật có khối lượng 200 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương D1  và D2. Hình bên là đồ  thị biểu diễn sự phụ  thuộc của li độ  của D1 và D2  theo thời gian. Mốc thế  năng tại vị  trí cân bằng của vật. Biết cơ năng của vật là 22,2 mJ. Biên độ dao động của D2 có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

  • A 5,1 cm.     
  • B 5,4 cm.     
  • C 4,8 cm.  
  • D 5,7 cm.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Công thức tính cơ năng W = mω2A2/2

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có : m = 200g = 0,2kg ; A1 = 3 cm ; T1 = 0,8s => ω  = 2,5π

 \(W = 22,5{\rm{ }}mJ\; = {W_1} + {W_2} = {1 \over 2}m{\omega ^2}A_1^2 + {1 \over 2}m{\omega ^2}A_2^2 \Rightarrow {A_2} \approx 5,1cm\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Hai con lắc lò xo có khối lượng không đáng kể M và N giống hệ nhau, đầu trên của hai lò xo được cố định ở cùng một giá đỡ cố định nằm ngang. Vật nặng của mỗi con lắc dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ của con lắc M là A, của con lắc N là \(A\sqrt 3 \). Trong quá trình dao động, chênh lệch độ cao lớn nhất của hai vật là A. Khi động năng của con lắc M cực đại và bằng 0,12J thì động năng của con lắc N là

 

  • A 0,09J
  • B 0,12J
  • C 0,08J
  • D 0,27J

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng đường tròn lượng giác

Định luật bảo toàn cơ năng: W = Wđ + Wt

Lời giải chi tiết:

+ Phương trình dao động của hai con lắc lò xo: 

\(\left\{ \matrix{
{x_M} = Ac{\rm{os}}\left( {\omega t + {\varphi _M}} \right) \hfill \cr
{x_N} = A\sqrt 3 c{\rm{os}}\left( {\omega t + {\varphi _N}} \right) \hfill \cr} \right.\)

+ Khoảng cách giữa hai vật nặng của hai con lắc lò xo tại thời điểm t là: d = xM – xN = AMN.cos(ωt + φ)

Với \({A_{MN}} = \sqrt {A_M^2 + A_N^2 - 2{A_M}{A_N}c{\rm{os}}\left( {{\varphi _M} - {\varphi _N}} \right)}  \Leftrightarrow \sqrt {{A^2} + {{\left( {A\sqrt 3 } \right)}^2} - 2A.A\sqrt 3 c{\rm{os}}\Delta \varphi } \)

+ Trong quá trình dao động, độ chênh lệch độ cao lớn nhất của hai vật là A:

\( \Rightarrow {\left[ {{A_{MN}}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right]_{\max }} = A \Leftrightarrow \sqrt {{A^2} + {{\left( {A\sqrt 3 } \right)}^2} - 2A.A\sqrt 3 c{\rm{os}}\Delta \varphi }  = A \Rightarrow c{\rm{os}}\Delta \varphi  = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow \Delta \varphi  = {\pi  \over 6}\) 

+ Động năng của con lắc M cực đại \({{\rm{W}}_{dM}} = {{k{A^2}} \over 2} = 0,12J\) khi vật M ở VTCB. Khi đó ta biểu diễn được vị trí của vật N được biểu diễn trên đường tròn lượng giác (M và N lệch pha nhau góc π/6).

 

+ Từ đường tròn lượng giác xác định được \({x_N} = A\sqrt 3 c{\rm{os}}{\pi  \over 3} = {{A\sqrt 3 } \over 2}\)

=> Động năng của con lắc N là:

\({{\rm{W}}_{dN}} = {{\rm{W}}_N} - {{\rm{W}}_{tN}} = {{kA_N^2} \over 2} - {{kx_N^2} \over 2} = {{k{{\left( {A\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 2} - {{k{{\left( {{{A\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}} \over 2} = \left( {3 - {3 \over 4}} \right){{k{A^2}} \over 2} = {9 \over 4}.0,12 = 0,27J\) 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Hai điểm sáng cùng dao động điều hoà trên trục Ox nằm ngang với phương trình dao động lần lượt \({x_1} = 4\cos \left( {5\pi t} \right)cm;{x_2} = 4\sqrt 3 \cos \left( {5\pi t + {\pi  \over 6}} \right)cm\). Kể từ thời điểm ban đầu, tại thời điểm lần đầu tiên hai điểm sáng cách xa nhau nhất, tỉ số vận tốc của điểm sáng thứ nhất so với chất điểm thứ 2 là:

  • A 1
  • B \( - \sqrt 3 \)
  • C -1
  • D \( \sqrt 3 \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai điểm sáng được biểu diễn bởi phương trình: d = x1 – x2 = Acos(ωt + φ)

Với \(\tan \varphi  = {{{A_1}\sin {\varphi _1} - {A_2}\sin {\varphi _2}} \over {{A_1}\cos {\varphi _1} - {A_2}c{\rm{os}}{\varphi _2}}}\)

Sử dụng đường tròn lượng giác

Lời giải chi tiết:

+ Phương trình vận tốc của hai chất điểm: 

\(\left\{ \matrix{
{v_1} = 20\pi c{\rm{os}}\left( {5\pi t + {\pi \over 2}} \right) \hfill \cr
{v_2} = 20\pi \sqrt 3 c{\rm{os}}\left( {5\pi t + {\pi \over 6} + {\pi \over 2}} \right) = 20\pi \sqrt 3 c{\rm{os}}\left( {5\pi t + {{2\pi } \over 3}} \right) \hfill \cr} \right.\)

+ Ta có: d = x1 – x2 = Acos(ωt + φ)

Với: \(\tan \varphi  = {{4\sin 0 - 4\sqrt 3 \sin {\pi  \over 6}} \over {4\cos 0 - 4\sqrt 3 c{\rm{os}}{\pi  \over 6}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 3} \Rightarrow d = A\cos \left( {5\pi t + {\pi  \over 3}} \right) \Rightarrow {d_{\max }} = A \Leftrightarrow d =  \pm A\)

+ Thời điểm đầu tiên t hai điểm sáng cách xa nhau nhất được biểu diễn trên đường tròn lượng giác:

 

Góc quét được: \(\alpha  = {\pi  \over 6} + {\pi  \over 2} = {{2\pi } \over 3} \Rightarrow t = {\alpha  \over \omega } = {{{{2\pi } \over 3}} \over {5\pi }} = {2 \over {15}}s\)

+ Tại t = 2/15s tỉ số vận tốc của chất điểm 1 so với chất điểm 2: \({{{v_1}} \over {{v_2}}} = {{20\pi c{\rm{os}}\left( {5\pi .{2 \over {15}} + {\pi  \over 2}} \right)} \over {20\pi \sqrt 3 c{\rm{os}}\left( {5\pi .{2 \over {15}} + {{2\pi } \over 3}} \right)}} = {{ - {{\sqrt 3 } \over 2}} \over { - {{\sqrt 3 } \over 2}}} = 1\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, tương ứng là (1), (2) và (3). Dao động (1) ngược pha và có năng lượng gấp đôi dao động (2). Dao động tổng hợp (1 và 3) có năng lượng là 3W. Dao động tổng hợp (2 và 3) có năng lượng W và vuông pha với dao động (1). Dao động tổng hợp của vật có năng lượng gần nhất với giá trị nào sau đây?

  • A 3,3W.  
  • B 2,7W.  
  • C 2,3W.    
  • D 1,7W.

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Đáp án D

Theo đề ta vẽ được giản đồ vecto như hình vẽ

 

Ta có 

\({{\rm{W}}_1} = 2{W_2} = > {A_1} = {A_2}\sqrt 2 = > \left\{ \matrix{
{A_2} = a \hfill \cr
{A_1} = a\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Từ hình vẽ ta có : 

\(\left\{ \matrix{
A_{23}^2 = A_3^2 - {a^2} \hfill \cr
\cos \alpha = {{{A_{23}}} \over {{A_{13}}}} \hfill \cr} \right.\)

Theo đề :\({{{{\rm{W}}_{23}}} \over {{{\rm{W}}_{13}}}} = {1 \over 3} \Leftrightarrow {{A_{23}^2} \over {A_{13}^2}} = {1 \over 3} =  > \cos \alpha  = {1 \over {\sqrt 3 }} =  > \tan \alpha  = \sqrt 2 \)

Lại có :\(\tan \alpha  = {{a + a\sqrt 2 } \over {{A_{23}}}} =  > {A_{23}} = \left( {1,5 + \sqrt 2 } \right){a^2} =  > A_3^2 = \left( {2,5 + \sqrt 2 } \right){a^2}\)

Vì 

\(\left\{ \matrix{
x = {x_1} + {x_2} + {x_3} = {x_{23}} + {x_1} \hfill \cr
\buildrel {{x_{23}} \bot {x_1}} \over
\longrightarrow = > A_{th}^2 = A_{23}^2 + A_1^2\mathrel{\mathop{\kern0pt\longrightarrow}
\limits_{({A_1} = A\sqrt 2 )}^{(9)}} A_{th}^2 = \left( {3,5 + \sqrt 2 } \right){a^2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có \({{{{\rm{W}}_{th}}} \over {{{\rm{W}}_{23}}}} = {{A_{th}^2} \over {{A_{23}}}} = {{\left( {3,5 + \sqrt 2 } \right){a^2}} \over {\left( {1,5 + \sqrt 2 } \right){a^2}}} \approx 1,7 =  > {{\rm{W}}_{th}} = 1,7W\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Hai vật dao động điều hòa trên hai đường thẳng cùng song song với trục Ox. Hình chiếu vuông góc của các vật lên trục Ox dao động với phương trình x1 = 10cos(2,5πt +\(\frac{\pi }{4}\) ) (cm) và x2 = 10cos(2,5πt −\(\frac{\pi }{4}\)) (cm) (t tính bằng s). Kể từ t = 0, thời điểm hình chiếu của hai vật cách nhau 10 cm lần thứ 2018 là

  • A 806,9 s.  
  • B 403,2 s.   
  • C 807,2 s. 
  • D 403,5 s

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Đáp án D

Khoảng cách giữa hai vật  x2-x1= 10\(\sqrt 2 \)cos (2,5πt + π/2) (cm) . Trong một chu kì có 4 lần xảy ra hai vật cách nhau 10cm. Sau  504T có 2016 lần, sau 3T/8 có 2 lần nữa hai vật cách nhau 10 cm. Vậy thời điểm hình chiếu của hai vật cách nhau 10 cm lần thứ 2018 là: 504T+3T/8= 403,5 s

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là  \({x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + 0,35} \right)(cm)\)

 và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - 1,572} \right)(cm)\) . Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là

\(x = 20\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)(cm)\)

. Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị nào nhất sau đây?

  • A 20 cm                         
  • B 35 cm.                    
  • C 40 cm                     
  • D 25 cm

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Công thức tính biên độ của dao động tổng hợp là :  

\({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi \)

Áp dụng BĐT Cô - si

Lời giải chi tiết:

Biên độ của dao động tổng hợp :\({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi \)

Ta có :

${20^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \left( { - 1,572 - 0,35} \right) = A_1^2 + A_2^2 - 0,688{A_1}{A_2} = {({A_1} + {A_2})^2} - 2,688{A_1}{A_2}$

Áp dung BĐT Cô – si ta có :

\(\begin{array}{l}
{A_1}{A_2} \le \frac{{{{({A_1} + {A_2})}^2}}}{4} \Rightarrow {20^2} \le {({A_1} + {A_2})^2}(1 - \frac{{2,688}}{4})\\
\Rightarrow {({A_1} + {A_2})_{\max }} = 34,92 \approx 35cm
\end{array}\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương, cùng tần số trên trục Ox với phương trình dao động lần lượt là x1 = A1cos(ωt – π/6) cm, x2 = A2cos(ωt + π/6)  cm thì phương trình dao động của vật thu được là x = Acos(ωt + φ) (cm). Giá trị cực đại của A2 thỏa mãn điều kiện bài toán là

  • A \(\sqrt 2 A\)
  • B A.
  • C 2A
  • D \({{2\sqrt 3 } \over 3}A\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính biên độ tổng hợp của hai dao động và sử dụng điều kiện có nghiệm của PT bậc 2

Lời giải chi tiết:

Biên độ dao động tổng hợp được tính theo công thức sau

 \({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\pi  \over 3} \Leftrightarrow A_1^2 + {A_2}.{A_1} + A_2^2 - {A^2} = 0\)

Để PT ẩn A1 có nghiệm thì  \(\Delta  = A_2^2 - 4\left( {A_2^2 - {A^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4{A^2} - 3A_2^2 \ge 0 \Leftrightarrow A_2^2 \le {{4{A^2}} \over 3} \Rightarrow {A_2} \le {{2A\sqrt 3 } \over 3}\)

Do đó  \({A_{2\max }} = {{2A\sqrt 3 } \over 3}\)

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Một chất điểm có khối lượng 0,3 kg đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Ở thời điểm t bất kì, li độ của hai dao động thành phần luôn thỏa mãn \(16{\text{x}}_1^2 + 9{\text{x}}_2^2 = 25\) (\({x_1}\), \({x_2}\) tính bằng cm). Biết lực phục hồi cực đại tác dụng lên chất điểm trong quá trình dao động là \({F_{ma{\text{x}}}} = 0,4\,\,N\). Tần số góc của dao động có giá trị

  • A \(10\pi \,\,rad/s\)
  • B 8 rad/s
  • C 4 rad/s
  • D \(4\pi \,\,rad/s\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tần số góc của dao động: \(\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}} \)

Độ lớn lực phục hồi tác dụng lên vật: \({F_{ph}} = \left| {k.x} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(16{x_1}^2 + 9{x_2}^2 = 25 \Rightarrow \frac{{{x_1}^2}}{{1,{{25}^2}}} + \frac{{{x_2}^2}}{{{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2}}} = 1\)

Vậy hai dao động này vuông pha và có các biên độ thành phần:

 \(\left\{ \begin{gathered}{A_1} = 1,25\,\,\left( {cm} \right) \hfill \\{A_2} = \frac{5}{3}\,\,\left( {cm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2} = \sqrt {1,{{25}^2} + {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2}} = \frac{{25}}{{12}}\,\,\left( {cm} \right)\)

Độ lớn lực phục hồi tác dụng lên vật:

 \({F_{ph\max }} = k.A \Rightarrow k = \frac{{{F_{ph\max }}}}{A} = \frac{{0,4}}{{\frac{{25}}{{12}}{{.10}^{ - 2}}}} = 19,2\,\,\left( {N/m} \right)\)

Tần số góc của dao động: \(\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}}  = \sqrt {\frac{{19,2}}{{0,3}}}  = 8\,\,\left( {rad/s} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Hai con lắc lò xo đặt trên mặt nẳm ngang không ma sát, hai đầu gắn hai vật nặng khối lượng \({{m}_{1}}={{m}_{2}}\), hai đầu lò xo còn lại gắn cố định vào hai tường thẳng đứng đối diện sao cho trục chính của chúng trùng nhau. Độ cứng tương ứng của mỗi lò xo lần lượt là \({{k}_{1}}=100\,\,N/m,\,\,{{k}_{2}}=400\,\,N/m\). Vật \({{m}_{1}}\) đặt bên trái, \({{m}_{2}}\) đặt bên phải. Kéo \({{m}_{1}}\) về bên trái và \({{m}_{2}}\) về bên phải rồi buông nhẹ hai vật cùng thời điểm cho chúng dao động điều hòa cùng cơ năng 0,125 J. Khi hai vật ở vị trí cân bằng, chúng cách nhau 10 cm. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là

  • A 3,32 cm
  • B 6,25 cm
  • C 9,8 cm
  • D 2,5 cm

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Năng lượng dao động: \(\text{W}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}\)

Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tần số góc của hai con lắc lần lượt là:

\(\begin{align}& {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{{{k}_{1}}}{{{m}_{1}}}} \\& {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{{{k}_{2}}}{{{m}_{2}}}}=\sqrt{\frac{4{{k}_{1}}}{{{m}_{1}}}}=2{{\omega }_{1}} \\\end{align}\)

Biên độ dao động của hai con lắc:

\(\begin{align}& {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{2W}{{{k}_{1}}}}=\sqrt{\frac{2.0,125}{100}}=0,05\,\,\left( m \right)=5\,\,\left( cm \right) \\& {{A}_{2}}=\sqrt{\frac{2W}{{{k}_{2}}}}=\sqrt{\frac{2.0,125}{400}}=0,025\,\,\left( m \right)=2,5\,\,\left( cm \right) \\\end{align}\)

Chọn hệ trục tọa độ với chiều dương như hình vẽ.

Phương trình dao động của hai con lắc lần lượt là:

\(\begin{align}& {{x}_{1}}=5\cos \left( {{\omega }_{1}}t-\pi  \right)=-5\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)\,\,cm \\& {{x}_{2}}=10+2,5\cos \left( 2{{\omega }_{1}}t \right)=5{{\cos }^{2}}\left( {{\omega }_{1}}t \right)+7,5\,\,cm \\\end{align}\)

Khoảng cách giữa hai vật: \(d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\)

\(\Rightarrow d=\left| -5\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)-5{{\cos }^{2}}\left( {{\omega }_{1}}t \right)-7,5 \right|=\left| 5{{\cos }^{2}}\left( {{\omega }_{1}}t \right)+5\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)+7,5 \right|\)

Đặt \(x=\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)\), xét hàm số \(y=5{{x}^{2}}+5x+7,5\Rightarrow y{{'}_{\left( x \right)}}=10x+5\)

Để \({{y}_{\min }}\Rightarrow y{{'}_{\left( x \right)}}=0\Rightarrow 10x+5=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Với \(x=\cos \left( {{\omega }_{1}}t \right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=6,25\Rightarrow d=\left| y \right|=6,25\,\,\left( cm \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng song song cạnh nhau, cùng một vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với hai đoạn thẳng đó với các phương trình li độ lần lượt là \({{x}_{1}}=3\cos \left( \frac{5\pi }{3}t+\frac{\pi }{3} \right)\,\,cm;\,\,{{x}_{2}}=3\sqrt{3}\cos \left( \frac{5\pi }{3}t+\frac{5\pi }{6} \right)\,\,cm\). Thời điểm đầu tiên (sau thời điểm t = 0), hai vật có khoảng cách lớn nhất là

  • A 0,5 s
  • B 0,4 s
  • C 0,6 s
  • D 0,3 s

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai chất điểm: \(d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\)

Sử dụng công thức \(t=\frac{\varphi }{\omega }\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3\cos \left( \frac{5\pi }{3}t+\frac{\pi }{3} \right)-3\sqrt{3}\cos \left( \frac{5\pi }{3}t+\frac{5\pi }{6} \right)=6\cos \left( \frac{5\pi }{3}t \right)\,\,\left( cm \right)\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm \({{d}_{\max }}=6\,\,\left( cm \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm 6\,\,\left( cm \right)\)

Thời điểm đầu tiên hai vật có khoảng cách lớn nhất, hai vật quay được góc: \(\varphi =\pi \,\,\left( rad \right)\)

Vậy thời điểm đầu tiên hai vật có khoảng cách lớn nhất: \(t=\frac{\varphi }{\omega }=\frac{\pi }{\frac{5\pi }{3}}=0,6\,\,\left( s \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với trục Ox có phương trình \({{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right);\,\,{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)\). Biết rằng giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của hai vật bằng 2 lần khoảng cách cực đại của hai vật theo phương Ox, và độ lệch pha của dao động 1 so với dao động 2 nhỏ hơn \({{90}^{0}}\). Độ lệch pha cực đại giữa \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) gần giá trị nào nhất sau đây

  • A \(36,{{87}^{0}}\)
  • B \(53,{{14}^{0}}\)
  • C \(87,{{32}^{0}}\)
  • D \(44,{{15}^{0}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Biên độ dao động tổng hợp: \(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật: \({{d}_{\max }}=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm cực trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\), giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của hai vật:

\(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật:

\({{d}_{\max }}=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Theo đề bài ta có: \(A=2{{d}_{\max }}\)

\(\begin{align}& \Rightarrow \sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }=2\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi } \\& \Rightarrow {{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =4\left( {{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi  \right) \\& \Rightarrow 3{{A}_{1}}^{2}+3{{A}_{2}}^{2}-10{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =0 \\& \Rightarrow \cos \Delta \varphi =\frac{3}{5}\frac{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}}{2{{A}_{1}}{{A}_{2}}} \\\end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \({{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}\ge 2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}}{2{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\ge 1\Rightarrow \cos \Delta \varphi \ge \frac{3}{5}\Rightarrow {{\left( \cos \Delta \varphi  \right)}_{\min }}=\frac{3}{5}\Rightarrow \Delta {{\varphi }_{\max }}=53,{{13}^{0}}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình \({x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{6}} \right)(cm)\) và \({x_2} = {A_2}.\cos (\omega t - \pi )(cm)\) . Dao động tổng hợp có phương trình \(x = 9.\cos (\omega t + \varphi )(cm)\). Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có giá trị:

  • A \(15{\sqrt 3 _{}}cm\)
  • B \(9{\sqrt 3 _{}}cm\)
  • C 7 cm 
  • D \(18{\sqrt 3 _{}}cm\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp giản đồ vecto fresnel và định lý sin trong tam giác.

Biểu diễn  \({x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{6}} \right)(cm)\)  bởi vecto A1 và \({x_2} = {A_2}.\cos (\omega t - \pi )(cm)\)bởi vecto A2.

Dao động tổng hợp có phương trình: \(x = 9.\cos (\omega t + \varphi )(cm)\) được biểu diễn bởi vecto A.

Từ các phương trình vẽ được giản đồ vecto. Từ giản đồ vecto áp dụng định lí hàm số sin và biện luận.

Lời giải chi tiết:

Sử dụng phương pháp giản đồ vecto fresnel và định lý sin trong tam giác.

Biểu diễn \({x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{6}} \right)(cm)\) bởi vecto A1 

Và \({x_2} = {A_2}.\cos (\omega t - \pi )(cm)\) bởi vecto A2.

Dao động tổng hợp có phương trình: \(x = 9.\cos (\omega t + \varphi )(cm)\) được biểu diễn bởi vecto A.

Ta vẽ được giản đồ vecto:

 

Áp dụng định lý sin trong tam giác OAA1 ta có:  

\(\frac{A}{{\sin \frac{\pi }{6}}} = \frac{{{A_2}}}{{\sin \alpha }} = \frac{{{A_1}}}{{\sin \beta }}\)

Để A2 cực đại thì α = 900, khi đó β = 600.

Ta có:  

\(\frac{A}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{{A_1}}}{{\sin {{60}^0}}} \Rightarrow {A_1} = A.\frac{{\sin {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = 9{\sqrt 3 _{}}(cm)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Hai con lắc lò xo giống hệt nhau được treo vào hai điểm ở cùng độ cao, cách nhau 3cm. Kích thích cho hai con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình lần lượt là\(\;{x_1} = 3\cos \left( {\omega t} \right)cm\)và\(\;{x_2} = 6\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\). Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vật nhỏ của các con lắc bằng     


         

  • A 5,2 cm   
  • B 9 cm   
  • C 8,5 cm    
  • D 6 cm

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai vật nhỏ trong quá trình dao động là: \(d = \sqrt {{3^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \)

Khoảng cách này lớn nhất là \({d_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)_{\max }}\)

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách giữa hai vật nhỏ trong quá trình dao động là:

\(d = \sqrt {{3^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \)

Ta có: \({x_2} - {x_1} = 6\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right) - 3\cos \left( {\omega t} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x_2} - {x_1} = 3\sqrt 3 .\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)cm\)

Suy ra: \(\;{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)_{\max }} = 3\sqrt 3 cm \Leftrightarrow \cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai vật nhỏ là:

\(d = \sqrt {{3^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 6cm\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có đồ thị tọa độ theo thời gian như hình vẽ. Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động trên. Vận tốc của chất điểm khi qua li độ \(x = 6{\sqrt 3 _{}}cm\) có độ lớn là:

  • A 60π cm/s                                  
  • B 120π cm/s                           
  • C 40π cm/s                             
  • D 140π cm/s

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Từ đồ thị ta viết phương trình của hai phương trình x1 và x2 sau đó tổng hợp x = x1+ x2

Sau đó áp dụng công thức độc lập với thời gian: 

\({x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\)

Lời giải chi tiết:

  

+ Dao động của vật 1 có biên độ A = 4 cm.

Tại thời điểm ban đầu t0 = 0 thì x10 = 2cm và vật đang chuyển động về biên dương, nên pha ban đầu

\({\varphi _1} = - \frac{\pi }{3}rad\)

Vì vậy phương trình dao động có dạng: 

\({x_1} = 4.\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{3}} \right)(cm)\)

Đến thời điểm \(t = \frac{1}{{12}}s\) thì lần đầu tiên x1 = 0, ta có:

\(0 = 4.cos\left( {\omega .\frac{1}{{12}} - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \omega .\frac{1}{{12}} - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}\)

\( \Leftrightarrow \omega \frac{1}{{12}} = \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow \omega  = 10\pi (rad/s)\)

Vậy ta có phương trình dao động của vật 1 là  

\({x_1} = 4.\cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\left( {cm} \right)\)

+ Dao động của vật 2 có biên độ A = 8cm.

Tại thời điểm ban đầu t0 = 0 thì x20= 4cm và vật đang chuyển động về biên dương, nên pha ban đầu \({\varphi _1} = - \frac{\pi }{3}rad\)

Vì vậy phương trình dao động có dạng:  

\({x_2} = 8.\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{3}} \right)(cm)\)

Đến thời điểm \(t = \frac{1}{{12}}s\) thì lần đầu tiên x2 = 0, ta có:

\(0 = 8.cos\left( {\omega .\frac{1}{{12}} - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \omega .\frac{1}{{12}} - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}\)

\( \Leftrightarrow \omega \frac{1}{{12}} = \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow \omega  = 10\pi (rad/s)\)

Vậy ta có phương trình dao động của vật 2 là:  

\({x_2} = 8.\cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\left( {cm} \right)\)

Phương trình dao động tổng hợp là:

\(x = {x_1} + {x_2}\)

\(x = 4.\cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{3}} \right) + 8.\cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\(x = 12.\cos \left( {10\pi t - \frac{\pi }{3}} \right)\)

Khi \(x = 6{\sqrt 3 _{}}cm\) áp dụng phương trình độc lập với thời gian ta có:

\({x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} + \frac{{{v^2}}}{{{{(10\pi )}^2}}} = {12^2} \Rightarrow v = 60\pi \left( {cm/s} \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho D1, D2 và D3 là ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dao động tổng hợp của D1 và D2 có phương trình \({x_{12}} = 5\sqrt 6 \cos \left( {\omega t - \pi } \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Dao động tổng hợp của D2 và D3 có phương trình \({x_{23}} = 5\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Dao động D1 ngược pha với dao động D3. Biên độ của dao động D2 có giá trị nhỏ nhất là

  • A 6,4 cm    
  • B 4,6 cm  
  • C 6,8 cm 
  • D 8,6 cm

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng giản đồ vecto và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Ta có giản đồ vecto:

Nhận xét: \({A_{2\min }} \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_2}}  \equiv \overrightarrow {OH} \)

Xét Δ OAB vuông tại O, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5\sqrt 6 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{5^2}}}\\ \Rightarrow OH = 4,629\,\,\left( {cm} \right) \approx 4,6\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {A_{2\min }} = OH = 4,6\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình tương ứng là \({x_1} = {A_1}\cos \omega t\,\,cm\); \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)\,\,cm\), tần số góc ꞷ không đổi. Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên là \(x = 2\sqrt 3 \cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\,cm\). Giá trị lớn nhất của A1 + A2

  • A \(4\sqrt 2 \,\,cm\)   
  • B \(8\sqrt 2 \,\,cm\)   
  • C 8 cm         
  • D 4 cm

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Biên độ dao động tổng hợp: \({A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi \)

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm cực trị.

Lời giải chi tiết:

Biên độ dao động tổng hợp là:

\(\begin{array}{l}{A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi \\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Rightarrow 12 = {A_1}^2 + {A_2}^2 + {A_1}{A_2} = {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} - {A_1}{A_2}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\({A_1} + {A_2} \ge 2\sqrt {{A_1}{A_2}}  \Rightarrow {A_1}{A_2} \le \dfrac{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}}{4}\) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {A_1} = {A_2}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} - {A_1}{A_2} \ge \dfrac{3}{4}{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \Rightarrow 12 \ge \dfrac{3}{4}{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \le 16 \Rightarrow {A_1} + {A_2} \le 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, tương ứng là (1), (2) và (3). Dao động (1) ngược pha và có năng lượng gấp 3 lần dao động (2). Dao động tổng hợp của (1) và (3) có năng lượng là 5W0. Dao động tổng hợp của (2) và (3) có năng lượng là W0 và vuông pha với dao động (1). Dao động tổng hợp của vật có năng lượng gần nhất với giá trị nào sau đây?

  • A 3W0        
  • B 2W0   
  • C 2,5W0   
  • D W0

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Năng lượng của dao động điều hòa: \(W = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

Sử dụng giản đồ vecto

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({W_1} = 3{W_2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}k{A_1}^2 = 3.\dfrac{1}{2}k{A_2}^2 \Rightarrow {A_1}^2 = 3{A_2}^2 \Rightarrow {A_1} = {A_2}\sqrt 3 \)

Lại có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{W_{13}} = 5{W_0}\\{W_{23}} = {W_0}\end{array} \right. \Rightarrow {W_{13}} = 5{W_{23}} \Rightarrow \dfrac{1}{2}k{A_{13}}^2 = 5.\dfrac{1}{2}k{A_{23}}^2\\ \Rightarrow {A_{13}}^2 = 5{A_{23}}^2 \Rightarrow {A_{13}} = {A_{23}}\sqrt 5 \end{array}\)

Ta có giản đồ vecto:

Đặt \({A_{23}} = OB = a \Rightarrow {A_{13}} = OC = a\sqrt 5 \)

Xét \(\Delta OBC:BC = \sqrt {O{C^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {a^2}}  = 2a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {A_1} + {A_2} = BC = 2a \Rightarrow {A_2}\left( {\sqrt 3  + 1} \right) = a\sqrt 5 \\ \Rightarrow {A_2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3  + 1}} \Rightarrow {A_1} = {A_2}\sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt 3  + 1}}\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow A  = \overrightarrow {{A_1}}  + \overrightarrow {{A_2}}  + \overrightarrow {{A_3}}  = \overrightarrow {{A_1}}  + \overrightarrow {{A_{23}}} \,\,\left( {\overrightarrow {{A_1}}  \bot \overrightarrow {{A_{23}}} } \right)\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_{23}}^2}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt 3  + 1}}} \right)}^2} + {a^2}}  = 1,7348a \approx 1,73a\)

Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{W = \frac{1}{2}k{A^2}} \\ {{W_{23}} = \frac{1}{2}k{A_{23}}^2} \end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{W}{{{W_{23}}}} = {\left( {\frac{A}{{{A_{23}}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{1,73a}}{a}} \right)^2} \approx 3 \Rightarrow W = 3{W_{23}} = 3{W_0}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ A = 10 cm nhưng tần số khác nhau. Biết rằng khi ba chất điểm đi từ khoảng -10 cm đến 10 cm thì li độ, vận tốc của các vật liên hệ với nhau bởi biểu thức \(\dfrac{{{x_1}}}{{{v_1}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{{v_3}}}\). Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt là 4 cm, 3 cm và x3. Giá trị của x3 gần giá trị nào nhất sau đây?

  • A 4,5 cm  
  • B 2,5 cm    
  • C 5 cm   
  • D 7,5 cm

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết đạo hàm

Công thức độc lập với thời gian: \({x^2}{\omega ^2} + {v^2} = {A^2}{\omega ^2}\)

Lời giải chi tiết:

Xét tỉ số \(\dfrac{x}{v}\)

Ta có: \({\left( {\dfrac{x}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{x'.v - x.v'}}{{{v^2}}} = \dfrac{{{v^2} - x.a}}{{{v^2}}}\)

Chú ý: \(a =  - {\omega ^2}x \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{{v^2} + {\omega ^2}{x^2}}}{{{v^2}}} = 1 + \dfrac{{{\omega ^2}{x^2}}}{{{v^2}}}\)

Công thức độc lập với thời gian:

\({\omega ^2}{x^2} + {v^2} = {\omega ^2}{A^2} \Rightarrow {v^2} = {\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right) \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{v}} \right)^\prime } = 1 + \dfrac{{{x^2}}}{{{A^2} - {x^2}}}\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}}}{{{v_1}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{v_2}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{{v_3}}} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{v_1}}}} \right)^\prime } + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{v_2}}}} \right)^\prime } = {\left( {\dfrac{{{x_3}}}{{{v_3}}}} \right)^\prime }\\ \Rightarrow 1 + \dfrac{{{x_1}^2}}{{{A^2} - {x_1}^2}} + 1 + \dfrac{{{x_2}^2}}{{{A^2} - {x_2}^2}} = 1 + \dfrac{{{x_3}^2}}{{{A^2} - {x_3}^2}}\\ \Rightarrow 1 + \dfrac{{{4^2}}}{{{{10}^2} - {4^2}}} + 1 + \dfrac{{{3^2}}}{{{{10}^2} - {3^2}}} = 1 + \dfrac{{{x_3}^2}}{{{{10}^2} - {x_3}^2}} \Rightarrow {x_3} = 7,5\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Hai chất điểm dao động trên hai phương song song với nhau và cùng vuông góc với trục Ox nằm ngang. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên Ox và cách nhau 10 cm, phương trình dao động của chúng lần lượt là: \({y_1} = 10\cos \left( {5\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)\,\,cm\); \({y_2} = 5\cos \left( {5\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\,\,cm\). Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm gần giá trị nào nhất sau đây

  • A 20 cm 
  • B 15 cm
  • C 17 cm  
  • D 18 cm

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Oy: \(y = \left| {{y_1} - {y_2}} \right|\)

Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm phương trình dao động tổng hợp.

Khoảng cách giữa hai chất điểm: \(d = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Oy là:

\(y = \left| {{y_1} - {y_2}} \right| = \left| {10\cos \left( {5\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right) - 5\cos \left( {5\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right|\)

Sử dụng máy tính bỏ túi:

+ Bấm MODE – 2 để máy tính hiện lên chữ CMPLX

+ Bấm SHIFT – MODE – 4 để đưa máy về chế độ rad

+ Bấm \(10\angle  - \dfrac{\pi }{2} - 5\angle \dfrac{\pi }{6}SHIFT - 2 - 3 -  = 5\sqrt 7 \angle  - 1,9\)

\( \Rightarrow y = 5\sqrt 7 \cos \left( {5\pi t - 1,9} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách lớn nhất của hai chất điểm theo phương Oy là: \({y_{\max }} = 5\sqrt 7 \,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là:

\({d_{\max }} = \sqrt {{x^2} + {y_{\max }}^2}  = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( {5\sqrt 7 } \right)}^2}}  = 16,58\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Hai chất điểm cùng khối lượng, dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox, có phương trình lần lượt là \({x_1} = {A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\) và \({x_2} = {A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\). Gọi \(d\) là khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của d theo \({A_1}\) (với \({A_2},{\varphi _1},{\varphi _2}\) là các giá trị xác định). Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Nếu \({W_1}\) là tổng cơ năng của hai chất điểm ở giá trị \({a_1}\) và \({{\rm{W}}_2}\) là tổng cơ năng của hai chất điểm ở giá trị \({a_2}\) thì tỉ số \({{\rm{W}}_2}/{{\rm{W}}_1}\) gần nhất với kết quả nào sau đây?

  • A \(2,5.\)
  • B \(2,2.\)
  • C \(2,4.\)
  • D \(2,3.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Đọc đồ thị

+ Áp dụng biểu thức tổng hợp dao động điều hòa: \({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\{x_2} = {A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\\ - {x_2} = {A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2} + \pi } \right)\end{array} \right.\)

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox: \(\Delta d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = dcos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \varphi  = {\varphi _1} - \left( {{\varphi _2} + \pi } \right)\\d = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi } \end{array} \right.\)

- Khi \({A_1} = 0 \Rightarrow d = {A_2} = 12cm\)

\(\begin{array}{l}{d^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi \\ = {\left( {{A_1} + {A_2}cos\Delta \varphi } \right)^2} + A_2^2\left( {1 - co{s^2}\Delta \varphi } \right)\end{array}\)

\({d_{\min }}\) khi

\(\begin{array}{l}{A_1} + {A_2}cos\Delta \varphi  = 0 \Rightarrow {A_1} =  - {A_2}cos\Delta \varphi \\ \Leftrightarrow 9 =  - 12cos\Delta \varphi \\ \Rightarrow cos\Delta \varphi  = \dfrac{{ - 3}}{4}\end{array}\)

- Khi \(d = 10cm\), ta có \({d^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {10^2} = A_1^2 + {12^2} + 2{A_1}.12.\left( { - \dfrac{3}{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{A_1} = 15,08 = {a_2}\\{A_1} = 2,92 = {a_1}\end{array} \right.\end{array}\)

Tỉ số cơ năng:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\rm{W}}_2}}}{{{{\rm{W}}_1}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}m{\omega ^2}a_2^2 + \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}A_2^2}}{{\dfrac{1}{2}m{\omega ^2}a_1^2 + \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}A_2^2}}\\ = \dfrac{{a_2^2 + A_2^2}}{{a_1^2 + A_2^2}} = \dfrac{{15,{{08}^2} + {{12}^2}}}{{2,{{92}^2} + {{12}^2}}} = 2,435\end{array}\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho hai con lắc lò xo nằm ngang \(\left( {{k_1},{m_1}} \right)\) và \(\left( {{k_2},{m_2}} \right)\) như hình vẽ. Trục dao động M và N cách nhau \(9cm\) . Lò xo \({k_1}\) có độ cứng \(100N/m\), chiều dài tự nhiên \({l_1} = 35cm\). Lò xo \({k_2}\) có độ cứng \(25N/m\), chiều dài tự nhiên \({l_2} = 26cm\). Hai vật có cùng khối lượng \(m\). Thời điểm ban đầu \(\left( {t = 0} \right)\), giữ lò xo \({k_1}\) dãn một đoạn \(3cm\), lò xo \({k_2}\) nén một đoạn \(6cm\) rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa. Bỏ qua ma sát. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động xấp xỉ bằng?

  • A \(13cm.\)
  • B \(9cm.\)
  • C \(10cm.\)
  • D \(11cm.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Viết phương trình dao động của hai vật : \({x_{1}};{x_2}\) 

+ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang : \(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

+ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là : \({d_{\min }} = \sqrt {M{N^2} + \Delta {x_{{{\min }^2}}}} {\rm{ }}\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải :

- Tần số góc của vật 1 và vật 2 là :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\omega _1} = \sqrt {\dfrac{{{k_1}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{100}}{m}}  = \dfrac{{10}}{{\sqrt m }}}\\{{\omega _2} = \sqrt {\dfrac{{{k_2}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{25}}{m}}  = \dfrac{5}{{\sqrt m }}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\omega _1} = 2{\omega _2}\)

- Lò xo \({k_1}\) có chiều dài tự nhiên \({l_{1}} = {\rm{ }}35cm\) 

Lò xo \({k_2}\) ­ ­có chiều dài tự nhiên \({l_2} = {\rm{ }}26cm\)

\( \Rightarrow \) Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : \(35{\rm{ }}--{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}9cm\)

- Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo \({k_1}\) dãn một đoạn \(3cm\), lò xo \({k_2}\) nén một đoạn \(6cm\) rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà.

Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo \({k_1}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình dao động điều hoà của hai vật :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 3\cos \left( {{\omega _1}t} \right) = 3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right)}\\{{x_2} =  - 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t + \pi } \right) =  - 9 - 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là :

\(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right|\)

Vì :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) = 2{\cos ^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1 \hfill \\
\Rightarrow \Delta x = \left| {3\left( {2{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right| \hfill \\
\end{gathered} \\
{ \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right) + 6} \right|}
\end{array}\)

Đặt : \(a = \cos \left( {{\omega _2}t} \right) \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{a^2} + 6a + 6} \right|\)

Ta có :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
6.{a^2} + 6a + 6 = 6\left( {{a^2} + a + 1} \right) \hfill \\
= 6\left[ {{{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] = 6.{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4,5 \hfill \\
\end{gathered} \\
\begin{gathered}
6.{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4,5 \leqslant 4,5 \hfill \\
\Rightarrow {\left( {6.{a^2} + 6a + 6} \right)_{\min }} = 4,5 \hfill \\
\end{gathered} \\
{ \Rightarrow \Delta {x_{\min }} = 4,5cm}
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là :

\({d_{\min }} = \sqrt {M{N^2} + \Delta {x_{{{\min }^2}}}}  = \sqrt {{9^2} + 4,{5^2}}  = 10,06cm\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Hình vẽ bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ \(x\) vào thời gian \(t\) của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dao động của vật là tổng hợp của hai dao động nói trên. Trong \(0,2s\) đầu tiên kể từ \(t = 0\), tốc độ trung bình của vật là

  • A \(20\sqrt 3 cm/s.\)
  • B \(20cm/s.\)
  • C \(40\sqrt 3 cm/s.\)
  • D \(40cm/s.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Đọc đồ thị \(x - t\)

+ Viết phương trình dao động điều hòa của mỗi dao động

+ Áp dụng biểu thức tính tốc độ trung bình: \(v = \dfrac{s}{t}\)

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị, ta có chu kì dao động \(T = 0,6s\)

+ Dao động thứ nhất có biên độ \(4cm\), tại \(t = 0\) li độ \({x_1} = 2cm\) và đang giảm, vậy phương trình dao động là \({x_1} = 4cos\left( {\dfrac{{10\pi }}{3}t + \dfrac{\pi }{3}} \right)cm\)

+ Dao động thứ 2, tại \(t = 0\) có li độ \(x =  - 6cm\) tại \(t = 0,2s\) là vần đầu vật qua vị trí cân bằng, nên ta có:

\(\dfrac{{10\pi }}{3}.0,2 + \varphi  =  - \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \varphi  =  - \dfrac{{7\pi }}{6}\left( {rad} \right)\)

\( \Rightarrow {A_2}cos\varphi  =  - 6 \Rightarrow {A_2} = \dfrac{{ - 6}}{{cos\varphi }} = \dfrac{{ - 6}}{{cos\left( { - \dfrac{{7\pi }}{6}} \right)}} = 4\sqrt 3 cm\)

Vậy dao động thứ 2 có phương trình dao động là: \({x_2} = 4\sqrt 3 cos\left( {\dfrac{{10\pi }}{3}t - \dfrac{{7\pi }}{6}} \right)cm\)

Phương trình dao động tổng hợp: \(x = {x_1} + {x_2} = 8cos\left( {\dfrac{{10\pi }}{3}t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm\)

Vậy đến thời điểm \(t = 0,2\) thì vật ở vị trí có li độ \(x =  - 4cm.\)

Trong \(0,2s\) đầu tiên kể từ \(t = 0\) vật đi được \(S = 2.4 = 8cm\)

Vận tốc trung bình của vật là \(v = \dfrac{8}{{0,2}} = 40cm/s\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Một vật thực hiện 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị x1 (t) là đường nét liền, đồ thị x2 (t) là đường nét đứt. Trong 0,8 s đầu tiên kể từ t = 0s, tốc độ trung bình của vật là:

  • A \(40{\sqrt 3 _{}}cm/s\)
  • B 40cm/s
  • C \(20{\sqrt 3 _{}}cm/s\)
  • D 50 cm/s

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình dao động điều hòa tổng quát là \(x = A.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\).

Từ đồ thị ta xác định được chu kì dao động của hai dao động, biên độ dao động và viết được hai phương trình dao động, sau đó tổng hợp hai dao động: x = x1 + x2

Sau đó tìm quãng đường mà vật đi được trong 0,8s đầu tiên và tính vận tốc trung bình: 

\({v_{tb}} = \frac{S}{t}\)

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta xác định được chu kì dao động của hai dao động:

\(T = 0,6s \Rightarrow \omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{10\pi }}{3}\left( {rad/s} \right)\)

Dao động x1 sau 0,2s thì vật có li độ bằng 0 lần thứ nhất. Ta có :

\(\omega .t + {\varphi _{01}} = \frac{{ - \pi }}{2} \Rightarrow \frac{{10\pi }}{3}.0,2 + {\varphi _{01}} = \frac{{ - \pi }}{2} \Rightarrow {\varphi _{01}} = \frac{{ - \pi }}{2} - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{ - 7}}{6}\pi \)

Pha ban đầu của dao động x1là : 

\({\varphi _{01}} = \frac{{ - 7\pi }}{6}\)

Biên độ dao động của x1là : 

\(A = \frac{{ - 6}}{{\cos \frac{{ - 7\pi }}{6}}} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Vậy phương trình dao động 1: 

\({x_1} = 4\sqrt 3 .\cos \left( {\frac{{10\pi }}{3}t - \frac{{7\pi }}{6}} \right)cm\)

Dao động x2 tại t = 0 thì vật có li độ bằng 2. Ta có:

\(\cos {\varphi _{02}} = \frac{{{x_2}}}{{{A_2}}} = \frac{2}{4} \Rightarrow {\varphi _{02}} = \frac{\pi }{3}\)

Pha ban đầu của dao động x2là: 

\({\varphi _{02}} = \frac{\pi }{3}\)

Biên độ dao động của x2 là A2 = 4 cm.

Vậy phương trình dao động 2: \({x_2} = 4.\cos \left( {\frac{{10\pi }}{3}t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\)

Dao động tổng hợp là : 

\(x = {x_1} + {x_2} = 8.\cos \left( {\frac{{10\pi }}{3}.t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)cm\)

Ta có:  

\(0,8s = 0,6s\; + 0,2s = T + \frac{T}{3}\)

Vậy quãng đường vật đi được sau thời gian 0,8 s là : 

\(S = 4A + \Delta S\)

Với ∆S là quãng đường đi được trong 1/3 chu kì.

Tại thời điểm ban đầu vật có vị trí: 

\({x_0} = 8.\cos \frac{{2\pi }}{3} = - 4cm\)

Sau \(\frac{T}{3}\) vật đến vị trí  \(x = 8.\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) = - 4cm\)

Quãng đường vật đi được trong thời gian \(\frac{T}{3}\)  này là ∆S = 8cm

Vậy quãng đường vật đi được sau thời gian 0,8 s là :

\(\;S = 4A + \Delta S = 4.8 + 8 = 40cm\)

Vận tốc trung bình trong thời gian này là: 

\(v = \frac{{40}}{{0,8}} = 50\left( {cm/s} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục Ox có phương trình lần lượt là \({x_1} = {A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\) và \({x_2} = {A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\). Xét các dao động tổng hợp \(x = {x_1} + {x_2}\) và \(y = {x_1} - {x_2}\). Biết rằng biên độ dao động của x gấp 2 lần biên độ dao động của y. Độ lệch pha cực đại giữa \({x_1}\) và \({x_2}\) gần với giá trị nào nhất sau đây?

  • A \({127^0}.\)
  • B \({72^0}.\)
  • C \({108^0}.\)
  • D \({53^0}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Vận dụng phương pháp tổng hợp biên độ dao động điều hòa: \({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi \)

+ Sử dụng hệ thức lượng giác

+ Áp dụng BĐT Cosi

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\{x_2} = {A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\\ - {x_2} = {A_2}{\rm{cos}}\left( {\omega t + {\varphi _2} + \pi } \right)\end{array} \right.\)

Độ lệch pha của 2 dao động: \(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

\(x = {x_1} + {x_2}\)

Biên độ của x: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi } \)

\(y = {x_1} - {x_2} = {x_1} + \left( { - {x_2}} \right)\)

Biên độ của y: \(B = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \left( {\pi  + \Delta \varphi } \right)} \)

\(\Rightarrow B = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi }\)  

Theo đầu bài, ta có: \(A = 2B\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {A^2} = 4{B^2}\\ \Rightarrow A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi  = 4\left( {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi } \right)\\ \Rightarrow 3A_1^2 + 3A_2^2 = 10{A_1}{A_2}cos\Delta \varphi \\ \Rightarrow cos\Delta \varphi  = \dfrac{{3\left( {A_1^2 + A_2^2} \right)}}{{10{A_1}{A_2}}}\end{array}\)

Theo bất đẳng thức cosi ta có: \(A_1^2 + A_2^2 \le 2{A_1}{A_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow cos\Delta \varphi  \le \dfrac{{3.2{A_1}{A_2}}}{{10{A_1}{A_2}}} = \dfrac{3}{5}\\ \Rightarrow \Delta \varphi  \le 53,{13^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Độ lệch pha cực đại giữa \({x_1}\) và \({x_2}\) là \(\Delta \varphi  = 53,{13^0}\)   

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Hai chất điểm thực hiện dao động trên hai đường thẳng song song, nằm ngang, có gốc tọa độ nằm trên cùng đường thẳng có phương thẳng đứng. Phương trình dao động của mỗi vật tương ứng là:\({x_1} = {A_1}\cos \left( {\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)cm;{x_2} = 12\cos \left( {\pi t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)cm\). Gốc thời gian là lúc hai vật bắt đầu chuyển động, khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật được biểu diễn bởi phương trình \(d = A\cos \left( {\pi t + \varphi } \right)\). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì :

  • A

    \(A = 6cm;{A_1} = 6\sqrt 3 cm\)      

  • B \(A = 12cm;{A_1} = 6m\)
  • C \(A = 12cm;{A_1} = 6\sqrt 3 cm\)             
  • D \(A = 6\sqrt 3 cm;{A_1} = 6cm\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật: \(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = A\cos \left( {\pi t + \varphi } \right)\)

Với: \({A^2} = A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}.\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật là:

\(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = A\cos \left( {\pi t + \varphi } \right)\)

Trong đó:

 \(\begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + {12^2} - 2{A_1}.12.\cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow {A^2} = A_1^2 + 144 - 12{A_1}\\ \Leftrightarrow {A^2} = {\left( {{A_1} - 6} \right)^2} + 108 \ge 108\\ \Rightarrow A_{\min }^2 = 108 \Rightarrow {A_{\min }} = 6\sqrt 3 cm \Leftrightarrow {A_1} = 6cm\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Dao động của một vật có khối lượng \(200g\) là tổng hợp của hai dao động điều hòa thành phần cùng tần số, cùng biên độ có li độ phụ thuộc thời gian được biểu diễn như hình vẽ. Biết \({t_2} - {t_1} = \dfrac{1}{3}s\). Lấy \({\pi ^2} = 10\). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm có giá trị là:

  • A \(\dfrac{{6,4}}{3}mJ\)
  • B \(\dfrac{{0,64}}{3}mJ\)
  • C \(64J\)
  • D \(6,4mJ\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Đọc đồ thị dao động

+ Sử dụng vòng tròn lượng giác

+ Sử dụng công thức góc quét: \(\Delta \varphi  = \omega \Delta t\)

+ Sử dụng biểu thức tổng hợp dao động điều hòa: \(x = {x_1} + {x_2} = {A_1}\angle {\varphi _1} + {A_2}\angle {\varphi _2}\)

+ Sử dụng biểu thức tính cơ năng: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\)

Lời giải chi tiết:

Xét điểm M (đường 2), N (đường 1) tại hai thời điểm \({t_1},{t_2}\) trên đồ thị

Xác định trên vòng tròn lượng giác ta được:

Từ vòng tròn lượng giác, ta suy ra \(\Delta \varphi  = \dfrac{\pi }{3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_{{N_{{t_1}}}}} = 4 = Acos\dfrac{{\Delta \varphi }}{2} = Acos\dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow A = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}cm\end{array}\)

Mặt khác: \(\Delta \varphi  = \omega .\Delta t \Rightarrow \omega  = \dfrac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = \dfrac{{\dfrac{\pi }{3}}}{{\dfrac{1}{3}}} = \pi \left( {rad/s} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}cos\left( {\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)cm\\{x_2} = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}cos\left( {\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)cm\end{array} \right.\)

Dao động tổng hợp: \(x = {x_1} + {x_2} = \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}\angle  - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{8}{{\sqrt 3 }}\angle \dfrac{\pi }{6} = 8\angle 0\)

Cơ năng của chất điểm: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \dfrac{1}{2}.0,2.{\pi ^2}.{\left( {0,08} \right)^2} = 6,{4.10^{ - 3}}J = 6,4mJ\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ lần lượt là A1 và A2, pha ban đầu có thể thay đổi được. Khi hai dao động thành phần lệch pha π/4 và π/2 thì năng lượng dao động tổng hợp lần lượt là 8W và 6W. Khi năng lượng dao động tổng hợp là 7W thì độ lệch pha giữa hai dao động thành phần gần với giá trị nào nhất sau đây?

  • A 85,50.                                
  • B 20                                    
  • C  65,69                               
  • D 124,50

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình hai dao động là  

\({x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right);{x_2} = {A_2}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\)

Dao động tổng hợp là \(x = A.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)

 với \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi } \)

Năng lượng của dao động là:  \({\rm{W}} = \frac{1}{2}.k.{A^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\
{x_2} = {A_2}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\\
x = {x_1} + {x_2} = A.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)
\end{array} \right.\)

 Với:  

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi } \)

Năng lượng của dao động trong hai trường hợp lệch pha \(\frac{\pi }{4}\) và \(\frac{\pi }{2}\) lần lượt là:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{{\rm{W}}_1} = \frac{1}{2}.k.A{'^2} = 8W = \frac{1}{2}.k.\left( {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}.\cos \frac{\pi }{4}} \right)\\
{{\rm{W}}_2} = \frac{1}{2}.k.A'{'^2} = 6W = \frac{1}{2}.k.\left( {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}.\cos \frac{\pi }{2}} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{\rm{W}}_1} = \frac{1}{2}.k.\left( {A_1^2 + A_2^2 + \sqrt 2 {A_1}.{A_2}} \right)\\
{{\rm{W}}_2} = \frac{1}{2}.k.\left( {A_1^2 + A_2^2} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow k.{A_1}.{A_2} = 2\sqrt 2
\end{array}\)

Khi năng lượng dao động là 7W ta có :

\(\begin{array}{l}
{{\rm{W}}_3} = 7W = \frac{1}{2}.k.\left( {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi } \right) = 6 + 2\sqrt 2 .\cos \Delta \varphi \\
\Rightarrow \cos \Delta \varphi = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow \Delta \varphi = 69,{295^0}
\end{array}\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Hai chất điểm dao động điều hòa với cùng tần số, có li độ ở thời điểm \(t\) là \({x_1}\) và \({x_2}\). Giá trị cực đại của tích \({x_1}.{x_2}\) là \(M\), giá trị cực tiểu của \({x_1}.{x_2}\) là \( - \frac{M}{4}\). Độ lệch pha giữa \({x_1}\)và \({x_2}\) có độ lớn gần nhất với giá trị nào sau đây?

  • A \(0,95\,\,rad\)
  • B \(1,82\,\,rad\)
  • C \(1,04\,\,rad\)
  • D \(1,52\,\,rad\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình dao động điều hòa  

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\
{x_2} = {A_2}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)
\end{array} \right.\)

Xét tích

\({x_1}.{x_2} = {A_1}.{A_2}.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình dao động điều hòa  

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\
{x_2} = {A_2}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)
\end{array} \right.\)

Xét tích

\({x_1}.{x_2} = {A_1}.{A_2}.\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)

Tích đó có giá trị cực đại khi \(\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = 1\) và cực tiểu khi \(\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = - 1\)

 Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} = \frac{1}{2}.{A_1}.{A_2}\left[ {1 + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right] = M\,\,\,\,\,\,(1)\\
{x_1}.{x_2} = \frac{1}{2}.{A_1}.{A_2}\left[ { - 1 + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right] = \frac{{ - M}}{4}\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(1) + (2) \Rightarrow \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = \frac{3}{4}\frac{M}{{{A_1}{A_2}}}\,\,\,\,\,\,(3)\\
(1) - (2) \Rightarrow {A_1}.{A_2} = \frac{5}{4}M\,\,\,\,\,\,\,\,(4)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \cos \Delta \varphi = \frac{3}{5} \Rightarrow \Delta \varphi = 0,93rad\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc một là \({A_1} = 4\,\,cm\), của con lắc hai là \({A_2} = 4\sqrt 3 \,\,cm\), con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là \(a = 4\,\,cm\). Khi động năng của con lắc một cực đại là \(W\) thì động năng của con lắc hai là:

  • A \(\dfrac{{9{\rm{W}}}}{4}\) 
  • B \(\dfrac{{2{\rm{W}}}}{3}\) 
  • C \(\dfrac{{3W}}{4}\) 
  • D \(W\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai vật: \(x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai con lắc: \({A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 - 2{A_1}{A_2}\cos \left( {\Delta \varphi  + \pi } \right)\)

Thế năng của con lắc: \({W_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2}\)

Cơ năng của con lắc: \(W = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \varphi \) là độ lệch pha giữa hai con lắc.

Khoảng cách lớn nhất giữa hai con lắc là:

\(\begin{array}{l}{A_{\max }}^2 = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {\Delta \varphi  + \pi } \right)\\ \Rightarrow {4^2} = {4^2} + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} + 2.4.4\sqrt 3 \cos \left( {\Delta \varphi  + \pi } \right)\\ \Rightarrow \cos \left( {\Delta \varphi  + \pi } \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \Delta \varphi  =  - \dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {rad} \right)\end{array}\)

Động năng con lắc thứ nhất đạt cực đại khi nó ở VTCB, khi đó con lắc thứ hai có li độ:

\({x_2} =  \pm \dfrac{{{A_2}}}{2}\)

Động năng cực đại của con lắc thứ nhất là:

\({W_{d1\max }} = {W_{t1\max }} = \dfrac{1}{2}k{A_1}^2\)

Động năng của con lắc thứ hai khi đó là:

\(\begin{array}{l}{W_{d2}} = {W_2} - {W_{t2}} = \dfrac{1}{2}k{A_2}^2 - \dfrac{1}{2}k{x_2}^2 = \dfrac{1}{2}k{A_2}^2 - \dfrac{1}{2}k{\left( { \pm \dfrac{{{A_2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}k{A_2}^2\\ \Rightarrow \dfrac{{{W_{d2}}}}{W} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}k{A_2}^2}}{{\dfrac{1}{2}k{A_1}^2}} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{{A_2}^2}}{{{A_1}^2}} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{4^2}}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow {W_{d2}} = \dfrac{{9W}}{4}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của hai vật lần lượt là \({x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)cm\) và \({x_2} = {A_2}.\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)cm\) . Biết \(16x_1^2 + 36x_2^2 = {1296_{}}c{m^2}\) và tốc độ cực đại của vật thứ nhất là 12 cm/s. Tốc độ cực đại của vật thứ 2 là

  • A 18 cm/s                              
  • B  8 cm/s                                
  • C 6 cm/s                                
  • D 24 cm/s

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình dao động của hai vật:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)cm\\
{x_2} = {A_2}.\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)cm
\end{array} \right.\)

Ta thấy:  

\(\frac{{x_1^2}}{{A_1^2}} + \frac{{x_2^2}}{{A_2^2}} = 1 \Rightarrow \frac{{x_1^2}}{{{\omega ^2}A_1^2}} + \frac{{x_2^2}}{{{\omega ^2}A_2^2}} = \frac{1}{{{\omega ^2}}}\)

Vận tốc cực đại của dao động 1 và 2 lần lượt là  

\(\left\{ \begin{array}{l}
{v_{01}} = \omega {A_1}\\
{v_{02}} = \omega {A_2}
\end{array} \right.\)

Kết hợp với phương trình: \(16x_1^2 + 36x_2^2 = {1296_{}}c{m^2}\).

Ta tìm được vận tốc cực đại của dao động thứ 2.

Lời giải chi tiết:

Phương trình dao động của hai vật:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)cm\\
{x_2} = {A_2}.\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)cm
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x_1^2}}{{A_1^2}} + \frac{{x_2^2}}{{A_2^2}} = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Kết hợp với phương trình bài cho:

\(16x_1^2 + 36x_2^2 = 1296c{m^2} \Leftrightarrow \frac{{x_1^2}}{{{9^2}}} + \frac{{x_2^2}}{{{6^2}}} = 1\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đồng nhất (1) và (2) ta có: A1 = 9 cm; A2 = 6 cm

Vận tốc cực đại của dao động 1 và 2 lần lượt là:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{v_{01}} = \omega {A_1} = 12(cm/s) \Rightarrow \omega = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3}\\
{v_{02}} = \omega {A_2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {v_{02}} = \frac{4}{3}.6 = 8\left( {cm/s} \right)
\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình \({x_1} = {A_1}.cos\left( {\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = 6.cos\left( {\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\left( {cm} \right)\). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình \(x = A.cos\left( {\pi t + \varphi } \right)\left( {cm} \right)\). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì:

  • A \(\varphi  = \dfrac{\pi }{6}\)  
  • B \(\varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\) 
  • C \(\varphi  = 0\)     
  • D \(\varphi  = \pi \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Công thức tính biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

\(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.cos\Delta \varphi \\tan\varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}.\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}.cos{\varphi _2}}}\end{array} \right.\)

Sử dụng kiến thức toán học về giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của hàm bậc 2.

Lời giải chi tiết:

Biên độ của dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}.cos\Delta \varphi \\ \Leftrightarrow {A^2} = A_1^2 + {6^2} + 2.{A_1}.6.\cos \left[ {\dfrac{\pi }{6} - \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {A^2} = A_1^2 - 6{A_1} + 36\end{array}\)

Hàm A phụ thuộc vào A1 có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng lên.

 

Tại đỉnh của parabol: \({A_1} =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{ - 6}}{{2.1}} = 3cm\) thì A nhận giá trị nhỏ nhất.

Pha ban đầu của dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}tan\varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}.\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}.cos{\varphi _2}}} = \dfrac{{3.\sin \dfrac{\pi }{6} + 6.\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)}}{{3.cos\dfrac{\pi }{6} + 6.cos\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)}} =  - \sqrt 3 \\ \Rightarrow \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}rad\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Hai con lắc lò xo A và B giống nhau, dao động trên hai đường thẳng song song, gần nhau và dọc theo trục Ox. Vị trí cân bằng của hai con lắc cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục Ox tại O. Hình bên là đồ thị của li độ dao động của con lắc A (đường 1) và của con lắc B (đường 2) phụ thuộc vào thời gian t. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng của mỗi vật. Lấy \({\pi ^2} = 10\). Biết khoảng cách giữa hai vật của hai con lắc dọc theo trục Ox có giá trị lớn nhất là 20 cm. Khi động năng con lắc A là 0,24 J thì thế năng con lắc B là

  • A \(90mJ\)
  • B \(240mJ\)
  • C \(160mJ\)
  • D \(135mJ\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Từ đồ thị ta thấy \({x_1},{x_2}\) vuông pha.

Khoảng cách giữa hai vật của hai con lắc dọc theo trục Ox trong quá trình dao động được xác định bởi phương trình: \(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = A.cos\left( {\omega t + \varphi } \right) \Rightarrow {d_{\max }} = A\)

Sử dụng lí thuyết về tổng hợp dao động kết hợp kĩ năng đọc đồ thị và VTLG.

Biểu thức của động năng và thế năng:

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_d} = \dfrac{1}{2}mv_{}^2 = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}A_{}^2.{\sin ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)\\{W_t} = \dfrac{1}{2}kx_{}^2 = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}A_{}^2.co{s^2}\left( {\omega t + {\varphi _{}}} \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình dao động của hai vật có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {A_1}.cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\{x_2} = {A_2}.cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\end{array} \right.\)

+ Từ đồ thị ta thấy khi \({x_{2\max }} = {A_2}\) thì \({x_1} = 0\)\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) vuông pha.

Khoảng cách giữa hai vật của hai con lắc dọc theo trục Ox trong quá trình dao động được xác định bởi phương trình: \(d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = A.cos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)

Với: \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \) (do \({x_1},{x_2}\) vuông pha)

Khoảng cách này có giá trị lớn nhất là 20cm

\( \Rightarrow {d_{\max }} = A = 20cm \Rightarrow A_1^2 + A_2^2 = {20^2}\,\,\left( 1 \right)\)

+ Từ đồ thị ta thấy tại t = 0 hai vật có cùng li độ \({x_1} = {x_2} =  - 9,6\)

Biểu diễn trên VTLG ta có:

Tam giác \(O{A_1}{A_2}\)vuông tại O có đường cao OH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(\dfrac{1}{{OA_1^2}} + \dfrac{1}{{OA_2^2}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A_1^2}} + \dfrac{1}{{A_2^2}} = \dfrac{1}{{9,{6^2}}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{A_1} = 16cm\\{A_2} = 12cm\end{array} \right.\)

Biểu thức xác định động năng con lắc A và thế năng con lắc B:

\(\left\{ \begin{array}{l}{W_{dA}} = \dfrac{1}{2}mv_A^2 = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}A_1^2.{\sin ^2}\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\\{W_{tB}} = \dfrac{1}{2}kx_B^2 = \dfrac{1}{2}m{\omega ^2}A_2^2.co{s^2}\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\end{array} \right.\)

Do \({x_1},{x_2}\) vuông pha nên: \({\sin ^2}\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) = co{s^2}\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{W_{dA}}}}{{{W_{tB}}}} = \dfrac{{A_1^2}}{{A_2^2}} \Leftrightarrow \dfrac{{0,24}}{{{W_{tB}}}} = \dfrac{{{{16}^2}}}{{{{12}^2}}} \Rightarrow {W_{tB}} = 0,135J = 135mJ\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Hai điểm sáng \(A\) và \(B\) dao động điều hòa cùng tần số trên trục \(Ox\) với cùng vị trí cân bằng \(O\). Hình bên là đồ thị li độ \({x_1}\) và \({x_2}\) của \(A\) và \(B\) phụ thuộc vào thời gian \(t\). Trong quá trình dao động, khoảng cách xa nhất giữa hai điểm sáng là

  • A \(2\sqrt 2 \,\,cm\).  
  • B \(2\sqrt 3 \,\,cm\). 
  • C \(3\sqrt 3 \,\,cm\). 
  • D \(3\sqrt 2 \,\,cm\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng kĩ năng đọc đồ thị để viết phương trình dao động

Khoảng cách giữa hai vật: \(x = {x_1} - {x_2} = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)

Khoảng cách xa nhất giữa hai vật: \({x_{\max }} = A\)

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị, ta thấy hai dao động cùng tần số

Ở thời điểm đầu, vật 2 có li độ \({x_2} = 0\) và đang giảm, ta có phương trình dao động:

\({x_2} = 2\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)

Vật 2 đến biên âm lần đầu tiên ở thời điểm \(t = \dfrac{T}{4}\), khi đó vật 1 có li độ là \({x_1} =  - \dfrac{{{A_1}}}{2}\)

Ta có vòng tròn lượng giác cho vật 1:

 

Từ vòng tròn lượng giác, ta thấy pha ban đầu của vật 1 là \({\varphi _1} = \dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {rad} \right)\)

Phương trình li độ của vật 1 là: \({x_1} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\)

Khoảng cách giữa hai vật là:

\(\begin{array}{l}x = {x_1} - {x_2} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 2\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ \Rightarrow x = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)

Biên độ dao động tổng hợp là:

\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{2}} \right)}  = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách xa nhất giữa hai vật là \(A = 2\sqrt 3 \,\,cm\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Dao động của một chất điểm có khối lượng \(100\,\,g\) là tổng hợp của hai dao động cùng phương, có phương trình lần lượt là \({x_1} = {A_1}\cos \left( {10\pi t + {\varphi _1}} \right)\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {10\pi t + {\varphi _2}} \right)\) (\(t\) tính bằng \(s\)). Hình bên là đồ thị biểu diễn mối liên hệ của \({x_1}\) và \({x_2}\). Động năng cực đại của chất điểm là

  • A \(0,405\,\,J\).   
  • B \(1,60\,\,J\).    
  • C \(0,442\,\,J\). 
  • D \(0,81\,\,J\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng kĩ năng đọc đồ thị và giản đồ vecto

Biên độ dao động cực đại: \(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Động năng cực đại của chất điểm: \({{\text{W}}_{d\max }}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta lấy 2 điểm với \(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}=9cm \\& {{x}_{2}}=9cm \\\end{align} \right.\) và \(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}=9cm \\& {{x}_{2}}=6cm \\\end{align} \right.\), ta có giản đồ vecto:

 

Trường hợp \({{x}_{1}}={{x}_{2}}=9cm\), ta có: \(x=A\cos \frac{\Delta \varphi }{2}\Rightarrow \Delta \varphi =2\text{ar}\cos \frac{9}{A}\)

Với \(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}=9cm \\& {{x}_{2}}=6cm \\\end{align} \right.\), ta có: \(\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}=\text{ar}\cos \frac{6}{A}-\text{ar}\cos \frac{9}{A}\)

\(\Rightarrow \Delta \varphi =2\text{ar}\cos \frac{9}{A}=\text{ar}\cos \frac{6}{A}-\text{ar}\cos \frac{9}{A}\)

Sử dụng chức năng SHIFT+SOLVE trong máy tính bỏ túi, ta có:

\(A\approx 9,4\,\,\left( cm \right)\Rightarrow \Delta \varphi =33,{{55}^{0}}\)

Biên độ dao động tổng hợp là:

\({{A}_{0}}=\sqrt{2{{A}^{2}}+2{{A}^{2}}\cos \Delta \varphi }\approx 18\,\,\left( cm \right)\)

Động năng cực đại của vật là:

\({{\text{W}}_{d\max }}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}.0,1.{{\left( 10\pi  \right)}^{2}}.0,{{18}^{2}}=1,62\,\,\left( J \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Một vật tham gia đồng thời 3 dao động điều hòa 1, 2, 3 cùng phương cùng biên độ \(A = 3cm\), cùng chu kì \(T = 1,8s\). Dao động 1 sớm pha hơn dao động 2, dao động 2 sớm pha hơn dao động 3, dao động 1 vuông pha với dao động 3. Trong 1 chu kì dao động, gọi \({t_1}\) là khoảng thời gian mà \({x_1}.{x_2} < 0\) và \({t_2}\) là khoảng thời gian mà \({x_2}.{x_3} < 0\)  (trong đó \({x_1},{x_2},{x_3}\) là li độ của 3 dao động). Biết rằng \({t_1} = 2{t_2}\). Biên độ dao động tổng hợp của vật là

  • A 7,18cm
  • B 4,24cm
  • C 5,20cm
  • D 7,49cm

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tính tổng hợp dao động: \(x = {x_1} + {x_2} = {A_1}\angle {\varphi _1} + {A_2}\angle {\varphi _2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có, trong 1 chu kì: \({x_1}{x_2} < 0\) tại 2 thời điểm đi qua VTCB của \({x_1}\) và \({x_2}{x_3} < 0\) tại 2 thời điểm đi qua VTCB của \({x_2}\)

Ta có: \({t_1} = \dfrac{{2\alpha }}{\omega }\)  và \({t_2} = \dfrac{{2\beta }}{\omega }\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\alpha  + \beta  = \dfrac{\pi }{2}\\{t_1} = 2{t_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha  = \dfrac{\pi }{3}\\\beta  = \dfrac{\pi }{6}\end{array} \right.\)

Chọn \({\varphi _3} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_3} = 3\angle 0\\{x_2} = 3\angle \dfrac{\pi }{6}\\{x_1} = 3\angle \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Dao động tổng hợp: \(x = {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3\angle \dfrac{\pi }{2} + 3\angle \dfrac{\pi }{6} + 3\angle 0 = 7,18\angle 0,67\) 

\( \Rightarrow \) Biên độ dao động tổng hợp: \(A = 7,18cm\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số với các biên độ là \(6\,\,cm\) và \(4\,\,cm\). Tại thời điểm \(t\), các dao động có li độ lần lượt là \({x_1}\) và \({x_2}\). Biết rằng giá trị cực đại của \({x_1}{x_2}\) là \(D\), giá trị cực tiểu của \({x_1}{x_2}\) là \(\dfrac{{ - D}}{3}\). Biên độ dao động của vật gần nhất với giá trị

  • A \(9,5\,\,cm\).        
  • B \(6,8\,\,cm\).        
  • C \(7,6\,\,cm\).     
  • D \(8,8\,\,cm\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình dao động điều hòa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)}\\{{x_2} = {A_2}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét tích \({x_1}.{x_2} = {A_1}.{A_2}.\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)

Biên độ dao động tổng hợp: \(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi } \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình dao động điều hòa  

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = {A_1}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)}\\{{x_2} = {A_2}.\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét tích \({x_1}.{x_2} = {A_1}.{A_2}.\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)

Tích đó có giá trị cực đại khi \(\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = 1\) và cực tiểu khi \(\cos \left( {2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) =  - 1\)

 Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{2}.{A_1}.{A_2}\left[ {1 + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right] = D\,\,\left( 1 \right)}\\{{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{2}.{A_1}.{A_2}\left[ { - 1 + \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right] = \dfrac{{ - D}}{3}{\mkern 1mu} \,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = \dfrac{2}{3}\dfrac{D}{{{A_1}{A_2}}}\,\,\left( 3 \right)}\\{\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow {A_1}.{A_2} = \dfrac{4}{3}D\,\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \cos \Delta \varphi  = \dfrac{1}{2}\)

Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động là:

\(A = \sqrt {{A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi }  \approx 8,7\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.