Đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Cánh diều

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Tam giác ABC có \(BC = 1cm,{\mkern 1mu} AC = 8cm.\) Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài này là một số nguyên \(\left( {cm} \right)\).
    A. 6cm                                B. 7cm                                     C. 8cm                                    D. 9cm

Câu 2. Cho biểu đồ sau:

Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Nam mạnh nhất trong khoảng thời gian từ năm 1990 đến năm 1995 là năm nào? Bao nhiêu % ?

     A. Năm 1991 tăng 6,2%    B. Năm 1995 tăng 6,5%    C. Năm 1994 tăng 6,7%    D. Năm 1994 tăng 6,5%

Câu 3. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\) Số đo góc \(\angle A;{\mkern 1mu} \angle B;{\mkern 1mu} \angle C\) theo thứ tự là:
   A. \(\angle B < \angle C < \angle A\)               B. \(\angle C < \angle A < \angle B\)                  C. \(\angle A > \angle B > \angle C\)                           D. \(\angle C < \angle B < \angle A\)

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

     A. Số \(0\) không phải là một đa thức.

     B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng.

     C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn.

     D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng \(0\)

Câu 5. Nghiệm của đa thức: \(P\left( x \right) = 15x - 3\) là:

A. \(\dfrac{{ - 1}}{5}\)              B. \(\dfrac{1}{5}\)                    C. \(5\)                                   D. \( - 5\)    

Câu 6. Có bao nhiêu đơn thức trong các biểu thức \(2x\,;\,3y\,;\,x - 5y\,;\, - 2x - y; - 1?\)

A. \(2\)                                     B. \(3\)                                     C. \(4\)                                    D. \(5\)

Câu 7. Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là:

A. \(7\)                                    B. \(8\)                                     C. \(15\)                                              D. \(10\)

Câu 8. Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({52^0}\) thì số đo góc ở đáy là:

A.\({54^0}\)                                         B. \({64^0}\)                                       C. \({72^0}\)                                         D. \({90^0}\)

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1. (2 điểm)

Biểu đồ đoạn thẳng ở hình bên dưới biểu diễn dân số thế giới cuối các năm 1959, 1969, 1979, 1989, 1999, 2009, 2019.

a) Lập bảng số liệu thống kê dân số thế giới cuối các năm 1959, 1969, 1979, 1989, 1999, 2009, 2019 theo mẫu sau:

b) Tính số người tăng lên trên thế giới trong mỗi thập kỉ: 1960 – 1969; 1970 – 1979; 1980 – 1989; 1990 – 1999; 2000 – 2009; 2010 – 2019.

c) Trong các thập kỉ trên, dân số thế giới trong thập kỉ nào tăng nhiều nhất? Ít nhất?

d) Dựa vào biểu đồ đoạn thẳng ở hình đã cho, nêu nhận xét về dân số thế giới sau mỗi thập kỉ.

Bài 2. (3 điểm) Cho các đa thức sau:

                                               \(P\left( x \right) =  - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\)

                                               \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\)

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự số mũ của biến giảm dần. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức đã cho.

b) Xác định \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\),\(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\).

c) Xác định đa thức \(R\left( x \right)\)thỏa mãn \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\).

Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.

Bài 4. (0,5 điểm) Cho \(a,\,b,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}.\)

Lời giải

I. Trắc nghiệm

Câu 1.

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm cạnh còn lại.
Cách giải:

Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC - BC < AB < AC + BC}\\{ \Rightarrow 8 - 1 < AB < 8 + 1}\\{ \Rightarrow 7 < AB < 9}\\{ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)}\end{array}\)

Chọn C.

Câu 2.

Phương pháp:

Quan sát biểu đồ.

Cách giải:

Theo biểu đồ ta thấy:

Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1991 là 6,2%

Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1994 là 6,5%

Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1995 là 6,3%

Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1994 là 6,5% là điểm cao nhất trên biểu đồ nên tại năm 1994 có tốc độ tăng trưởng GPD Việt Nam lớn nhất.

Chọn D.

Câu 3.

Phương pháp:

So sánh độ dài các cạnh rồi dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác để so sánh các góc với nhau. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì góc lớn hơn.
Cách giải:

\(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\)

Ta có: \(AB < BC < AC\) \( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)

Chọn B.

Câu 4.

Phương pháp:

Áp dụng định nghĩa về đa thức và tính chất tam giác cân.
Cách giải:

Xét từng đáp án:

A. Số \(0\) không phải là một đa thức. Sai Vì số 0 là đa thức 0 

B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng. Đúng: (vẽ một tam giác cân và xác định trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh ta thấy chúng cùng nằm trên một đường thẳng) 

C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn. Sai Vì chúng nằm trên cùng 1 đường thẳng.

D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng 0. Sai Vì số 0 được gọi là đa thức không và nó là đa thức không có bậc.

Chọn B

Câu 5.

Phương pháp:

Tìm nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), ta giải phương trình \(P\left( x \right) = 0\)

Cách giải:

Ta có: \(P\left( x \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}15x - 3 = 0\\15x = 3\\\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{5}\end{array}\)

Vậy \(x = \dfrac{1}{5}\) là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right) = 15x - 3\)

Chọn B.

Câu 6.

Phương pháp:

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Cách giải:

Biểu thức \(2x\,;\,3y; - 1\) là các đơn thức.

Vậy có \(3\) đơn thức.

Chọn B.

Câu 7.

Phương pháp:

Phương pháp:

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó

Cách giải:

Ta có: hạng tử \({x^8}\) là có bậc cao nhất

\( \Rightarrow \) Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là: \(8\)

Câu 8.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân (tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau).

Cách giải:

Giả sử ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat B = \widehat C.\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{52}^0}}}{2} = {64^0}.\)

Chọn B

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)

Bài 1.

Phương pháp:

Phân tích dữ liệu biểu đồ đoạn thẳng.

Cách giải:

a) Ta có bảng số liệu sau:

b) Số người tăng lên trên thế giới trong thập kỉ 1960 – 1969 là: \(3,63 - 2,98 = 0,65\) (tỉ người)

Tương tự như trên, số người tăng lên  trên thế giới trong mỗi thập kỉ 1970 – 1979; 1980 – 1989; 1990 – 1999; 2000 – 2009; 2010 – 2019 lần lượt là: 0,75; 0,86; 0,76; 0,87; 0,84 (tỉ người).

c) Trong các thập kỉ trên, dân số thế giới tăng nhiều nhất trong thập kỉ 2000 – 2009 và tăng ít nhất trong thập kỉ 1960 – 1969.

d) Dựa vào biểu đồ đoạn thẳng ở hình đã cho, ta thấy dân số thế giới sau mỗi thập kỉ đều tăng.

Bài 2.

Phương pháp:

+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.

+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.

Cách giải:

a)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) =  - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)

Vậy:  \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)

\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)

Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\dfrac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)

b)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\)

                     \( = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2\)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \dfrac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\)

                      \(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)

c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)

\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)

\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)

\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) =  - 3{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)

Bài 3.

Phương pháp:

a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.

b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh.
Cách giải:

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra \(2AB - BM + CN = 2AB\).

\( \Leftrightarrow  - BM + CN = 0 \Leftrightarrow BM = CN\)

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

\(\widehat {IME} = \widehat {CNI}\)(hai góc so le trong)

\(\widehat {MEI} = \widehat {NCI}\)(hai góc so le trong)

\(\widehat {MEB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {MEB} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta MBE\)cân tại M  nên MB = ME. Do đó, ME = CN.

Ta chứng minh được \(\Delta MEI = \Delta NCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (g.c.g)\)

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt), \(\widehat {MIK} = \widehat {NIK} = {90^0}\)

IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK = \Delta NIK(c.g.c)\).

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có:

AB = AC(gt),

\(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (do BK là tia phân giác của góc BAC),

AK là cạnh chung,

Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK(c.g.c)\).

Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có:

MB = CN, BK = KN, MK = KC,

Do đó \(\Delta BKM = \Delta CKN(c.c.c)\),

Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {KCN}\).

Mà \(\widehat {MBK} = \widehat {ACK} \Rightarrow \widehat {ACK} = \widehat {KCN} = {180^0}:2 = {90^0} \Rightarrow KC \bot AN.\)(đpcm)

Bài 4.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

- Trường hợp \(1:\,a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0 \Rightarrow a + b =  - c;\,\,a + c =  - b;\,\,b + c =  - a\) thay vảo biểu thức \(S\) ta được:

\(S = \dfrac{{ - c.\left( { - a} \right).\left( { - b} \right)}}{{abc}} =  - 1.\)

- Trường hợp 2: \(a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a} = \dfrac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}} = 1\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c\\c + a = 2b\\b + c = 2a\end{array} \right.\) thay vào biểu thức \(S\) ta được:

\(S = \dfrac{{2c.2a.2b}}{{abc}} = 8\)

Vậy: \(S =  - 1\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c = 0\)

         \(S = 8\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c \ne 0\).