Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\). Viết phương trình \(\left( d \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến .

Áp dụng BĐT Binhiacopxki để tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình : \(a\left( {x - 3} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 3a - 4b = 0\)

Khi đó: \(d\left( {A;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {a - b - 3a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {2a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Áp dụng BĐT Binhiacopxki \( \Rightarrow d\left( {A;\left( d \right)} \right) \le \frac{{\sqrt {\left( {4 + 25} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {29} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{b}{5} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{5}\)

Chọn \(a = 2;\,\,b = 5 \Rightarrow \)  Phương trình \(d:\,\,2x + 5y - 26 = 0\)

Chọn D.