Câu hỏi
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và tạo với đường thẳng có phương trình \(x - 3y + 2 = 0\) một góc bằng \({45^o}\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình là:
- A \(2x + y + 1 = 0\)
- B \(2x - y = 1\)
- C \(x - 2y + 1 = 0\)
- D \(3x + y - 4 = 0\)
Phương pháp giải:
Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right).\) Viết phương trình \(\left( d \right).\)
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai VTPT (VTCP)
Giải phương trình tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) từ đó suy ra phương trình của \(\left( d \right).\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right).\)
Phương trình \(\left( d \right):\,\,a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a - b = 0\)
Đường thẳng \(\Delta :x - 3y + 2 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 3} \right)\)
Ta có: \(\cos \left( {d;\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \cos {45^o} = \frac{{\left| {a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {10} }}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {10} }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {a - 3b} \right| = \sqrt {10} \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 3b} \right)^2} = 5{a^2} + 5{b^2} \Leftrightarrow 4{a^2} - 4{b^2} + 6ab = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 4ab - ab - 2b \Leftrightarrow \left( {2a - b} \right)\left( {a + 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2a \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1;\,2} \right) \Rightarrow \left( d \right):x + 2y - 3 = 0\\a = - 2b \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \left( d \right): - 2x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn B.