Phương pháp giải:

Cách 1: Thay \(x = 3\) vào để tính giới hạn của hàm số.

Cách 2:

+) Giải sử \({x_n}\)  là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn \({x_n} > 0,\,{x_n} \ne 3\)  và \({x_n} \to 3\)  khi \(n \to  + \infty \).

+) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) .

Cách 1:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 1}}{{2\sqrt x }} = \frac{{{3^2} + 1}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}.\)

Cách 2: Giải sử \({x_n}\)  là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn \({x_n} > 0,\,\;\;{x_n} \ne 3\)  và \({x_n} \to 3\)  khi \(n \to  + \infty \). Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{{x_n}^2 + 1}}{{2\sqrt {{x_n}} }} = \frac{{{3^2} + 1}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\) (áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số).

Do đó:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}.\)

Chọn C.