Phương pháp giải:

Với  \(x > 1 \Rightarrow \left| {x - 1} \right| = x - 1,\)  bỏ dấu giá trị tuyệt đối và biến đổi biểu thức để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x \to {1^ + } \Rightarrow x > 1 \Rightarrow \left| {x - 1} \right| = x - 1.\) Khi đó:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + \left| {x - 1} \right| - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + \left( {x - 1} \right) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 3.\end{array}\)

Chọn A.