Câu hỏi
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - \sqrt {1 - 2x} }}{x}\) có kết quả là:
- A \(2\)
- B \(-2\)
- C \(-1\)
- D \(0\)
Phương pháp giải:
Thêm bớt, nhân liên hợp và rút gọn biểu thức để khử dạng \(\frac{0}{0}\) rồi tính giới hạn của biểu thức.
\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - \sqrt {1 - 2x} }}{x} = \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - 1}}{x} - \frac{{\sqrt {1 - 2x} - 1}}{x}\\ = \frac{{\left( {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt {1 - 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {1 - 2x} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 - 2x} + 1} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} - 2x}}{{x\left( {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - 2x} + 1} \right)}} = \frac{{4x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 1}} + \frac{2}{{\sqrt {1 - 2x} + 1}}.\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - \sqrt {1 - 2x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} - 1}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 - 2x} - 1}}{x}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{x^2} - 2x}}{{x\left( {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - 2x} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {1 - 2x} + 1}} = - 1 + 1 = 0.\end{array}\)
Chọn D.