Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tách tọa độ: \(\left( C \right):\;\;{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)

Tiếp tuyến \(\left( d \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(T\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) có phương trình: \(\left( {x - a} \right)\left( {{x_0} - a} \right) + \left( {y - b} \right)\left( {{y_0} - b} \right) = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có \(M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( {a;\;2a + 10} \right).\)

Giả sử \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right).\) Phương trình tiếp tuyến \(MA\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(x.{x_A} + y.{y_A} - 4 = 0.\)

Vì \(M \in MA \Rightarrow a{x_A} + \left( {2a + 10} \right){y_A} - 4 = 0\;\;\;\left( 1 \right).\)

Giả sử \(B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right).\) Phương trình tiếp tuyến \(MB\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(x.{x_B} + y.{y_B} - 4 = 0.\)

Vì \(M \in MB \Rightarrow a{x_B} + \left( {2a + 10} \right){y_B} - 4 = 0\;\;\;\left( 2 \right).\)

Từ (1) và (2) ta có phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(ax + \left( {2a + 10} \right)y - 4 = 0.\)

Theo đề bài ta có \(AB\) qua \(N\left( {1;\;0} \right) \Rightarrow a.1 + \left( {2a + 10} \right).0 - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4.\)

\( \Rightarrow M = \left( {a;\;2a + 10} \right) = \left( {4;\;18} \right).\)

Chọn D.