Phương pháp giải:

Đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;\;b} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;\; - 4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {4^2} + 5}  = \sqrt {25}  = 5.\)

\(\left( 2 \right)\) là phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\;\;mx + \left( {2 - m} \right)y + m = 0.\)

Khi đó ta có nghiệm của hệ phương trình là tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( C \right).\) 

Gọi tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\)  là \(A\left( {{x_1};\;{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\;y{ _2}} \right).\) Ta có:

\(P = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = A{B^2}.\)

Vì \(AB\) là một dây cung của đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow AB \le 2R \Leftrightarrow A{B^2} \le 4{R^2} = 100.\)

\( \Rightarrow P\) đạt giá trị lớn nhất khi \(AB\) là một đường kính của \(\left( C \right).\)

Hay \(\left( d \right)\) đi qua \(I\left( {2;\; - 4} \right) \Rightarrow m.2 + \left( {2 - m} \right).\left( { - 4} \right) + m = 0 \Leftrightarrow 2m - 8 + 4m + m = 0 \Leftrightarrow 7m = 8 \Leftrightarrow m = \frac{8}{7}.\)

Chọn B.