Câu hỏi
Cho \(\left( {{\Delta _\alpha }} \right):\,\,\left( {x - 1} \right)\cos \alpha + \left( {y - 1} \right)\sin \alpha - 4 = 0\) . Chứng minh \(\left( {{\Delta _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với đường tròn (C) cố định.
- A \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
- B \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)
- C \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)
- D \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16\)
Lời giải chi tiết:
\(\left( {{\Delta _\alpha }} \right):\,\,\left( {x - 1} \right)\cos \alpha + \left( {y - 1} \right)\sin \alpha - 4 = 0 \Leftrightarrow x\cos \alpha + y\sin \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha - 4 = 0\)
+) Giả sử (C) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) , bán kính R. \(\left( {{\Delta _m}} \right)\) luôn tiếp xúc với đường tròn (C)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I;{\Delta _\alpha }} \right) = R,\forall \alpha \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {a\cos \alpha + b\sin \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha - 4} \right|}}{{\sqrt {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } }} = R,\forall \alpha \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right)\cos \alpha + \left( {b - 1} \right)\sin \alpha - 4} \right| = R,\forall \alpha \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - 1 = 0\\R = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\R = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
