Câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y+2z+1=0\); \(\left( Q \right):\,\,x-2y+2z-8=0;\,\,\left( R \right):\,\,x-2y+2z+4=0\) Một đường thẳng \(\Delta \) thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\,\,\left( Q \right);\,\,\left( R \right)\) lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(AB+\frac{96}{A{{C}^{2}}}\) là:
- A \(\frac{41}{8}\)
- B \(99\)
- C 18
- D 24
Phương pháp giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm.
Lời giải chi tiết:
Nhận xét \(\left( P \right)//\left( Q \right)//\left( R \right)\) và (P) nằm giữa (Q) và (R).
Ta có \(BH=d\left( \left( Q \right);\left( P \right) \right)=9;\,\,HK=d\left( \left( P \right);\left( R \right) \right)=3\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{HK}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(\begin{align} & AB+\frac{96}{A{{C}^{2}}}=\frac{AB}{2}+\frac{AB}{2}+\frac{96}{A{{C}^{2}}}\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{\frac{AB}{2}.\frac{AB}{2}.\frac{96}{A{{C}^{2}}}} \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3.\sqrt[3]{24.{{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}}=3.\sqrt[3]{24.9}=18 \\\end{align}\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
